与えられた等式 $x^3 - 1 = a(x-1)(x-2)(x-3) + b(x-1)(x-2) + c(x-1) + d$ が、$x$ についての恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$, $d$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた等式 $x^3 - 1 = a(x-1)(x-2)(x-3) + b(x-1)(x-2) + c(x-1) + d$ が、$x$ についての恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$, $d$ の値を求める。

2. 解き方の手順

恒等式の係数比較法または数値代入法を用いる。今回は数値代入法を用いる。

$x$ に値を代入することで、未知数の数を減らしていく。

まず、$x=1$ を代入すると、

$1^3 - 1 = a(0) + b(0) + c(0) + d$

$0 = d$

したがって、$d = 0$

次に、$x=2$ を代入すると、

$2^3 - 1 = a(1)(0)( -1) + b(1)(0) + c(1) + 0$

$7 = c$

したがって、$c = 7$

次に、$x=3$ を代入すると、

$3^3 - 1 = a(2)(1)(0) + b(2)(1) + c(2) + 0$

$26 = 2b + 2c = 2b + 2(7) = 2b + 14$

$2b = 26 - 14 = 12$

$b = 6$

したがって、$b = 6$

最後に、$x=0$ を代入すると、

$0^3 - 1 = a(-1)(-2)(-3) + b(-1)(-2) + c(-1) + 0$

$-1 = -6a + 2b - c$

$-1 = -6a + 2(6) - 7 = -6a + 12 - 7 = -6a + 5$

$-6 = -6a$

$a = 1$

したがって、$a = 1$

3. 最終的な答え

$a = 1$

$b = 6$

$c = 7$

$d = 0$