問題231の(3)について、数列 $1\cdot 10, 3\cdot 7, 5\cdot 4, 7\cdot 1, \dots$ の第$n$項 $a_n$ を求め、初項から第$n$項までの和 $S_n$ を求める。

1. 問題の内容

問題231の(3)について、数列 $1\cdot 10, 3\cdot 7, 5\cdot 4, 7\cdot 1, \dots$ の第$n$項 $a_n$ を求め、初項から第$n$項までの和 $S_n$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた数列の各項を分解して、2つの数列の積として考えます。

1つ目の数列は $1, 3, 5, 7, \dots$ で、これは初項1、公差2の等差数列です。

この数列の第 $n$ 項は $1 + (n-1)2 = 2n - 1$ と表せます。

2つ目の数列は $10, 7, 4, 1, \dots$ で、これは初項10、公差-3の等差数列です。

この数列の第 $n$ 項は $10 + (n-1)(-3) = 10 - 3n + 3 = 13 - 3n$ と表せます。

したがって、元の数列の第 $n$ 項 $a_n$ は、

$a_n = (2n - 1)(13 - 3n) = 26n - 6n^2 - 13 + 3n = -6n^2 + 29n - 13$

次に、初項から第$n$項までの和 $S_n$ を求めます。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (-6k^2 + 29k - 13)$

$= -6\sum_{k=1}^{n} k^2 + 29\sum_{k=1}^{n} k - 13\sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$, $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ なので、

$S_n = -6\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 29\frac{n(n+1)}{2} - 13n$

$= -n(n+1)(2n+1) + \frac{29}{2}n(n+1) - 13n$

$= -n(2n^2+3n+1) + \frac{29}{2}n^2 + \frac{29}{2}n - 13n$

$= -2n^3 - 3n^2 - n + \frac{29}{2}n^2 + \frac{29}{2}n - 13n$

$= -2n^3 + (\frac{29}{2} - 3)n^2 + (\frac{29}{2} - 13 - 1)n$

$= -2n^3 + \frac{23}{2}n^2 + (\frac{29 - 26 - 2}{2})n$

$= -2n^3 + \frac{23}{2}n^2 + \frac{1}{2}n$

$= \frac{-4n^3 + 23n^2 + n}{2} = \frac{n(-4n^2 + 23n + 1)}{2}$

3. 最終的な答え

第 $n$ 項: $a_n = -6n^2 + 29n - 13$

初項から第 $n$ 項までの和: $S_n = \frac{-4n^3 + 23n^2 + n}{2}$