関数 $f(x) = x^2 + 3x + m$ について、区間 $m \le x \le m+2$ における最小値を $g$ とする。 (1) $m > -\frac{3}{2}$ のとき、$g$ を $m$ を用いて表せ。 (2) $m \le -\frac{3}{2}$ のとき、$g$ を $m$ を用いて表せ。 (3) $m$ の値がすべての実数を変化するとき、$g$ の最小値を求めよ。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 + 3x + m$ について、区間 $m \le x \le m+2$ における最小値を $g$ とする。

(1) $m > -\frac{3}{2}$ のとき、$g$ を $m$ を用いて表せ。

(2) $m \le -\frac{3}{2}$ のとき、$g$ を $m$ を用いて表せ。

(3) $m$ の値がすべての実数を変化するとき、$g$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ を平方完成して、頂点の座標を求めます。

$f(x) = x^2 + 3x + m = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + m$

よって、頂点の座標は $(-\frac{3}{2}, -\frac{9}{4} + m)$ です。

(1) $m > -\frac{3}{2}$ のとき、区間 $m \le x \le m+2$ は、頂点の $x$ 座標 $-\frac{3}{2}$ より右側にあります。

したがって、$f(x)$ は区間内で単調増加であるため、最小値は $x=m$ のときにとります。

$g = f(m) = m^2 + 3m + m = m^2 + 4m$

(2) $m \le -\frac{3}{2}$ のとき、区間 $m \le x \le m+2$ を考えます。

さらに場合分けが必要です。

(a) $m+2 < -\frac{3}{2}$ つまり $m < -\frac{7}{2}$ のとき

区間 $m \le x \le m+2$ は、頂点の $x$ 座標 $-\frac{3}{2}$ より左側にあります。

したがって、$f(x)$ は区間内で単調減少であるため、最小値は $x=m+2$ のときにとります。

$g = f(m+2) = (m+2)^2 + 3(m+2) + m = m^2 + 4m + 4 + 3m + 6 + m = m^2 + 8m + 10$

(b) $m \le -\frac{3}{2} \le m+2$ つまり $-\frac{7}{2} \le m \le -\frac{3}{2}$ のとき

区間 $m \le x \le m+2$ は、頂点の $x$ 座標 $-\frac{3}{2}$ を含みます。

したがって、最小値は頂点の $y$ 座標 $-\frac{9}{4} + m$ です。

$g = -\frac{9}{4} + m$

(3) (1)と(2)の結果をまとめると、

$g = \begin{cases} m^2+4m & (m > -\frac{3}{2}) \\ m^2+8m+10 & (m < -\frac{7}{2}) \\ m-\frac{9}{4} & (-\frac{7}{2} \le m \le -\frac{3}{2}) \end{cases}$

ここで、$m-\frac{9}{4}$ は $-\frac{7}{2} \le m \le -\frac{3}{2}$ において増加関数なので、$m=-\frac{7}{2}$ のときに最小値 $-\frac{7}{2} - \frac{9}{4} = -\frac{14}{4} - \frac{9}{4} = -\frac{23}{4}$ をとります。

$m^2 + 4m$ は $m > -\frac{3}{2}$ において、$m^2 + 4m = (m+2)^2 - 4$ なので、$m = -\frac{3}{2}$ に近いほど小さい値をとります。

$m = -\frac{3}{2}$ のとき、$(-\frac{3}{2})^2 + 4(-\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - 6 = \frac{9}{4} - \frac{24}{4} = -\frac{15}{4}$ です。

$m^2+8m+10$ は $m < -\frac{7}{2}$ において、$m^2+8m+10 = (m+4)^2 - 6$なので、$m = -\frac{7}{2}$ に近いほど小さい値をとります。

$m = -\frac{7}{2}$ のとき、$(-\frac{7}{2})^2 + 8(-\frac{7}{2}) + 10 = \frac{49}{4} - 28 + 10 = \frac{49}{4} - 18 = \frac{49}{4} - \frac{72}{4} = -\frac{23}{4}$ です。

したがって、g の最小値は $-\frac{23}{4}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $g = m^2 + 4m$

(2) $g = \begin{cases} m^2+8m+10 & (m < -\frac{7}{2}) \\ m-\frac{9}{4} & (-\frac{7}{2} \le m \le -\frac{3}{2}) \end{cases}$

(3) $g$ の最小値は $-\frac{23}{4}$