関数 $f(x) = x^2 + 3x + m$ の $m \le x \le m+2$ における最小値を $g$ とおく。以下の問いに答えよ。 (1) $m > -\frac{3}{2}$ のとき、$g$ を $m$ を用いて表せ。 (2) $m \le -\frac{3}{2}$ のとき、$g$ を $m$ を用いて表せ。 (3) $m$ の値がすべての実数を変化するとき、$g$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 + 3x + m$ の $m \le x \le m+2$ における最小値を $g$ とおく。以下の問いに答えよ。

(1) $m > -\frac{3}{2}$ のとき、$g$ を $m$ を用いて表せ。

(2) $m \le -\frac{3}{2}$ のとき、$g$ を $m$ を用いて表せ。

(3) $m$ の値がすべての実数を変化するとき、$g$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^2 + 3x + m$ を平方完成する。

$f(x) = \left(x + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4} + m$

軸は $x = -\frac{3}{2}$ である。

(1) $m > -\frac{3}{2}$ のとき、区間 $m \le x \le m+2$ は軸 $x = -\frac{3}{2}$ より右側にあるか、軸を含まない。

$m > -\frac{3}{2}$ であるので、$m+2 > -\frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{2} > -\frac{3}{2}$ である。

したがって、区間 $m \le x \le m+2$ において $f(x)$ は増加関数となる。

最小値は $x = m$ のときであるから、

$g = f(m) = m^2 + 3m + m = m^2 + 4m$

(2) $m \le -\frac{3}{2}$ のとき、区間 $m \le x \le m+2$ は軸 $x = -\frac{3}{2}$ を含むかどうかで場合分けする。

(i) $m \le -\frac{3}{2} < m+2$ のとき

$-\frac{3}{2} - 2 < m \le -\frac{3}{2}$

$-\frac{7}{2} < m \le -\frac{3}{2}$

このとき、最小値は頂点の $x = -\frac{3}{2}$ においてとる。

$g = f\left(-\frac{3}{2}\right) = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 3\left(-\frac{3}{2}\right) + m = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + m = -\frac{9}{4} + m$

(ii) $m+2 \le -\frac{3}{2}$ のとき

$m \le -\frac{3}{2} - 2 = -\frac{7}{2}$

このとき、区間 $m \le x \le m+2$ は軸 $x = -\frac{3}{2}$ より左側にある。

したがって、区間 $m \le x \le m+2$ において $f(x)$ は減少関数となる。

最小値は $x = m+2$ のときであるから、

$g = f(m+2) = (m+2)^2 + 3(m+2) + m = m^2 + 4m + 4 + 3m + 6 + m = m^2 + 8m + 10$

よって、$m \le -\frac{7}{2}$ のとき $g = m^2 + 8m + 10$ であり、$-\frac{7}{2} < m \le -\frac{3}{2}$ のとき $g = -\frac{9}{4} + m$ である。

(3) $m > -\frac{3}{2}$ のとき、$g = m^2 + 4m = (m+2)^2 - 4$

$m \le -\frac{7}{2}$ のとき、$g = m^2 + 8m + 10 = (m+4)^2 - 6$

$-\frac{7}{2} < m \le -\frac{3}{2}$ のとき、$g = -\frac{9}{4} + m$

$m > -\frac{3}{2}$ のときの $g$ の最小値は、$m = -2$ のとき $g = -4$ であるが、$m > -\frac{3}{2}$ を満たさないので考えない。

$g$ は $m > -\frac{3}{2}$ で増加するから、$m$ が $-\frac{3}{2}$ に近いほど $g$ は小さくなる。

$m \le -\frac{7}{2}$ のときの $g$ の最小値は、$m = -4$ のとき $g = -6$ である。

$-\frac{7}{2} < m \le -\frac{3}{2}$ のとき、$g = -\frac{9}{4} + m$ は $m$ について一次関数なので、区間の左端で最小値をとる。

$m = -\frac{7}{2}$ のとき、$g = -\frac{9}{4} - \frac{14}{4} = -\frac{23}{4} = -5.75$

$m = -\frac{3}{2}$ のとき、$g = -\frac{9}{4} - \frac{6}{4} = -\frac{15}{4} = -3.75$

したがって、$-\frac{7}{2} < m \le -\frac{3}{2}$ のとき、$g$ の最小値は $m = -\frac{7}{2}$ のとき $g = -\frac{23}{4}$ となる。

以上より、$g$ の最小値は $-6$ である。

3. 最終的な答え

(1) $g = m^2 + 4m$

(2) $m \le -\frac{7}{2}$ のとき $g = m^2 + 8m + 10$

$-\frac{7}{2} < m \le -\frac{3}{2}$ のとき $g = m - \frac{9}{4}$

(3) $g$ の最小値は $-6$