与えられた対数方程式 $\log_3 x - \log_x 81 = 3$ を解いて、$x$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた対数方程式 $\log_3 x - \log_x 81 = 3$ を解いて、$x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、底の変換公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ を用いて、$\log_x 81$ を底が3の対数に変換する。

$\log_x 81 = \frac{\log_3 81}{\log_3 x} = \frac{\log_3 3^4}{\log_3 x} = \frac{4}{\log_3 x}$

したがって、与えられた方程式は

$\log_3 x - \frac{4}{\log_3 x} = 3$

となる。

ここで、$y = \log_3 x$ とおくと、方程式は

$y - \frac{4}{y} = 3$

両辺に $y$ を掛けて整理すると

$y^2 - 4 = 3y$

$y^2 - 3y - 4 = 0$

この2次方程式を解くと

$(y - 4)(y + 1) = 0$

よって、$y = 4$ または $y = -1$。

$y = \log_3 x$ より、

$\log_3 x = 4$ のとき $x = 3^4 = 81$

$\log_3 x = -1$ のとき $x = 3^{-1} = \frac{1}{3}$

ここで、$x$ は対数の底なので、$x>0$かつ$x\neq 1$である必要がある。

$x=81$と$x=1/3$はいずれもこの条件を満たしている。

3. 最終的な答え

$x = 81, \frac{1}{3}$