ある高校の1年生全員が長いすに座る時、1つの長いすに6人ずつ座ると15人が座れなくなる。また、1つの長いすに7人ずつ座ると、使わない長いすが3つできる。長いすの数は何脚以上何脚以下か。

1. 問題の内容

ある高校の1年生全員が長いすに座る時、1つの長いすに6人ずつ座ると15人が座れなくなる。また、1つの長いすに7人ずつ座ると、使わない長いすが3つできる。長いすの数は何脚以上何脚以下か。

2. 解き方の手順

まず、長いすの数を $x$ とする。

* 6人ずつ座る場合、15人が座れないので、生徒の数は $6x + 15$ 人となる。

* 7人ずつ座る場合、使わない長いすが3つできるので、実際に生徒が座る長いすの数は最大で $x-3$ 脚となる。

生徒が座る長いすが $x-3$ 脚の場合、$7(x-3)$ 人までは座ることができる。

しかし、使わない長いすが3脚「できる」という情報から、少なくとも座っていない長いすが3脚あることがわかるが、それ以上の数は不明であるため、座る長いすの数は最大で $x-3$である。

$x-4$脚まで7人で座り、残りの1脚には1人以上7人未満が座ると考えられる。座る人数が最小の場合、 $x-4$ 脚には7人ずつ座り、最後の1脚には1人だけ座る。座る人数が最大の場合、$x-3$脚すべてに7人ずつ座る。

したがって、生徒の数について次の不等式が成り立つ。

$7(x-4) + 1 \le 6x + 15 \le 7(x-3)$

左側の不等式を解く。

$7(x-4) + 1 \le 6x + 15$

$7x - 28 + 1 \le 6x + 15$

$7x - 27 \le 6x + 15$

$x \le 42$

右側の不等式を解く。

$6x + 15 \le 7(x-3)$

$6x + 15 \le 7x - 21$

$36 \le x$

したがって、$36 \le x \le 42$

3. 最終的な答え

長いすの数は36脚以上42脚以下である。