$(a+b+c)^6$ の展開式における、指定された項の係数を求めます。 (1) $a^3bc^2$ の係数 (2) $a^2b^2c^2$ の係数 (3) $a^2b^4$ の係数

1. 問題の内容

$(a+b+c)^6$ の展開式における、指定された項の係数を求めます。

(1) $a^3bc^2$ の係数

(2) $a^2b^2c^2$ の係数

(3) $a^2b^4$ の係数

2. 解き方の手順

多項定理を使用します。多項定理は以下のように表されます。

$(x_1 + x_2 + ... + x_m)^n = \sum_{k_1+k_2+...+k_m=n} \frac{n!}{k_1!k_2!...k_m!}x_1^{k_1}x_2^{k_2}...x_m^{k_m}$

(1) $a^3bc^2$ の係数

$a^3bc^2$ の項は、多項定理において $k_1 = 3$, $k_2 = 1$, $k_3 = 2$ に対応します。したがって、係数は

$\frac{6!}{3!1!2!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(1)(2 \times 1)} = \frac{720}{12} = 60$

(2) $a^2b^2c^2$ の係数

$a^2b^2c^2$ の項は、多項定理において $k_1 = 2$, $k_2 = 2$, $k_3 = 2$ に対応します。したがって、係数は

$\frac{6!}{2!2!2!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{720}{8} = 90$

(3) $a^2b^4$ の係数

$a^2b^4$ の項は、$c$の指数が0の場合に該当します。多項定理において $k_1 = 2$, $k_2 = 4$, $k_3 = 0$ に対応します。したがって、係数は

$\frac{6!}{2!4!0!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(4 \times 3 \times 2 \times 1)(1)} = \frac{720}{48} = 15$

3. 最終的な答え

(1) $a^3bc^2$ の係数: 60

(2) $a^2b^2c^2$ の係数: 90

(3) $a^2b^4$ の係数: 15