与えられた式 $(a+b+c)^2 - (b+c-a)^2 + (c+a-b)^2 - (a+b-c)^2$ を計算して簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b+c)^2 - (b+c-a)^2 + (c+a-b)^2 - (a+b-c)^2$ を計算して簡略化します。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの項を展開します。

$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

$(b+c-a)^2 = b^2 + c^2 + a^2 + 2bc - 2ab - 2ca$

$(c+a-b)^2 = c^2 + a^2 + b^2 + 2ca - 2bc - 2ab$

$(a+b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ca$

次に、与えられた式にこれらの展開した式を代入します。

$(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca) - (b^2 + c^2 + a^2 + 2bc - 2ab - 2ca) + (c^2 + a^2 + b^2 + 2ca - 2bc - 2ab) - (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ca)$

式を整理すると、

$(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca) - (a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2bc - 2ca) + (a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc + 2ca) - (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ca)$

$= (a^2 - a^2 + a^2 - a^2) + (b^2 - b^2 + b^2 - b^2) + (c^2 - c^2 + c^2 - c^2) + (2ab - (-2ab) - 2ab - 2ab) + (2bc - 2bc - (-2bc) - (-2bc)) + (2ca - (-2ca) + 2ca - (-2ca))$

$= 0 + 0 + 0 + (2ab + 2ab - 2ab - 2ab) + (2bc - 2bc + 2bc + 2bc) + (2ca + 2ca + 2ca + 2ca)$

$= 0 + 0 + 0 + 0 + 4bc + 8ca$

したがって、最終的な答えは $4bc + 8ca = 4c(b + 2a) = 4c(2a+b)$ となります。

3. 最終的な答え

$4c(2a+b)$