与えられた式 $x^2y - x^2z + y^2z - xy^2$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2y - x^2z + y^2z - xy^2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

与えられた式をペアに分けて共通因数でくくり出します。

まず、最初の2つの項 $x^2y$ と $-x^2z$ を $x^2$ でくくり出すと、 $x^2(y-z)$ となります。

次に、後ろの2つの項 $y^2z$ と $-xy^2$ を $y^2$ でくくり出すと、$y^2(z-x)$となります。

したがって、与えられた式は

$x^2(y-z) + y^2(z-x)$

となります。

このままでは共通因数が見つからないので、式を並び替えてみます。

$x^2y - x^2z + y^2z - xy^2 = x^2y - xy^2 - x^2z + y^2z$

最初の2つの項を $xy$ でくくり出すと、$xy(x-y)$となります。

後ろの2つの項を $-z$ でくくり出すと、$-z(x^2-y^2)$となります。

$xy(x-y) - z(x^2 - y^2)$

$x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ なので、

$xy(x-y) - z(x-y)(x+y) = (x-y)[xy - z(x+y)]$

$=(x-y)(xy - zx - zy) = (x-y)(xy - xz - yz)$

最終的には、

$x^2y - x^2z + y^2z - xy^2 = x^2y - xy^2 -x^2z + y^2z = xy(x-y) - z(x^2 - y^2) = xy(x-y) -z(x-y)(x+y) = (x-y)[xy -z(x+y)] = (x-y)(xy-xz-yz) = -(x-y)(xz+yz-xy)$ となります。

3. 最終的な答え

$(x-y)(xy-xz-yz)$

あるいは

$-(x-y)(xz+yz-xy)$