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与えられた式 $x^4 - 5x^2 + 4$ を因数分解する。

代数学因数分解多項式二次式代数
2025/5/14

1. 問題の内容

与えられた式 x4−5x2+4x^4 - 5x^2 + 4 を因数分解する。

2. 解き方の手順

x2=yx^2 = y とおくと、与えられた式は yy の二次式で表せる。
x4−5x2+4=y2−5y+4x^4 - 5x^2 + 4 = y^2 - 5y + 4
この二次式を因数分解する。
y2−5y+4=(y−1)(y−4)y^2 - 5y + 4 = (y-1)(y-4)
次に、yy を x2x^2 に戻す。
(y−1)(y−4)=(x2−1)(x2−4)(y-1)(y-4) = (x^2-1)(x^2-4)
それぞれの項がさらに因数分解できる。x2−1x^2 - 1 は (x−1)(x+1)(x-1)(x+1) に、x2−4x^2-4 は (x−2)(x+2)(x-2)(x+2) に因数分解できる。
したがって、
(x2−1)(x2−4)=(x−1)(x+1)(x−2)(x+2)(x^2-1)(x^2-4) = (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)

3. 最終的な答え

(x−1)(x+1)(x−2)(x+2)(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)

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