$\alpha = 2\sqrt{2}(1+i)$ とするとき、等式 $|z-\alpha| = 2$ を満たす複素数 $z$ について、以下の問いに答える問題です。ただし、複素数の偏角はすべて $0$ 以上 $2\pi$ 未満とします。 (1) 絶対値が最大となる $z$ を求めます。 (2) 偏角が最大となる $z$ を $\beta$ とおくとき、以下をそれぞれ求めます。 (i) $\frac{\beta}{\alpha}$ の絶対値と偏角 (ii) $\beta$ とその偏角 (iii) $1 \le n \le 100$ の範囲で、$\beta^n$ が実数になる整数 $n$ の個数

1. 問題の内容

$\alpha = 2\sqrt{2}(1+i)$ とするとき、等式 $|z-\alpha| = 2$ を満たす複素数 $z$ について、以下の問いに答える問題です。ただし、複素数の偏角はすべて $0$ 以上 $2\pi$ 未満とします。

(1) 絶対値が最大となる $z$ を求めます。

(2) 偏角が最大となる $z$ を $\beta$ とおくとき、以下をそれぞれ求めます。

(i) $\frac{\beta}{\alpha}$ の絶対値と偏角

(ii) $\beta$ とその偏角

(iii) $1 \le n \le 100$ の範囲で、$\beta^n$ が実数になる整数 $n$ の個数

2. 解き方の手順

まず、$\alpha$ を極形式で表します。

$\alpha = 2\sqrt{2}(1+i) = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}(\cos{\frac{\pi}{4}} + i\sin{\frac{\pi}{4}}) = 4(\cos{\frac{\pi}{4}} + i\sin{\frac{\pi}{4}})$

より、$\alpha$ の絶対値は $4$、偏角は $\frac{\pi}{4}$ です。

$|z-\alpha| = 2$ は、複素数平面上で、点 $\alpha$ を中心とする半径 $2$ の円を表します。

(1) 絶対値が最大となる $z$ を求めるには、原点から円の中心 $\alpha$ を通る直線と円の交点のうち、$\alpha$ から遠い方の点が求める $z$ です。

$z = \alpha + 2(\cos{\frac{\pi}{4}} + i\sin{\frac{\pi}{4}}) = 4(\cos{\frac{\pi}{4}} + i\sin{\frac{\pi}{4}}) + 2(\cos{\frac{\pi}{4}} + i\sin{\frac{\pi}{4}}) = 6(\cos{\frac{\pi}{4}} + i\sin{\frac{\pi}{4}}) = 6(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}i$

(2) 偏角が最大となる $z$ は、円 $|z-\alpha| = 2$ に原点から引いた接線の接点です。

$\alpha$ を中心とする半径2の円を考え、原点Oからこの円に接線を引きます。その接点を$\beta$とします。$\angle \alpha O \beta = \theta$とすると、sin$\theta$ = $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ なので、$\theta = \frac{\pi}{6}$です。

したがって、$\beta$の偏角は、$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{12}$

また、$|\beta| = \sqrt{4^2-2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

$\beta = 2\sqrt{3} (\cos{\frac{5\pi}{12}} + i\sin{\frac{5\pi}{12}})$

(i) $\frac{\beta}{\alpha} = \frac{2\sqrt{3} (\cos{\frac{5\pi}{12}} + i\sin{\frac{5\pi}{12}})}{4(\cos{\frac{\pi}{4}} + i\sin{\frac{\pi}{4}})} = \frac{\sqrt{3}}{2} (\cos{(\frac{5\pi}{12} - \frac{\pi}{4})} + i\sin{(\frac{5\pi}{12} - \frac{\pi}{4})}) = \frac{\sqrt{3}}{2} (\cos{\frac{\pi}{6}} + i\sin{\frac{\pi}{6}}) = \frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = \frac{3}{4} + i\frac{\sqrt{3}}{4}$

$\left| \frac{\beta}{\alpha} \right| = \frac{\sqrt{3}}{2}$

偏角は $\frac{\pi}{6}$

(ii) $\beta = 2\sqrt{3} (\cos{\frac{5\pi}{12}} + i\sin{\frac{5\pi}{12}})$

絶対値: $2\sqrt{3}$

偏角: $\frac{5\pi}{12}$

(iii) $\beta^n$ が実数になるのは、$\frac{5n\pi}{12} = k\pi$ (kは整数) となる場合です。

つまり、$\frac{5n}{12} = k$, $5n = 12k$

$n = \frac{12k}{5}$

$1 \le n \le 100$ より、 $1 \le \frac{12k}{5} \le 100$

$\frac{5}{12} \le k \le \frac{500}{12} = \frac{125}{3} = 41.666...$

$k$ は整数なので、$1 \le k \le 41$

$k$ が5の倍数の時のみ $n$ は整数になるので、$k = 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40$

したがって、$n$ は $8$ 個。

3. 最終的な答え

(1) $z = 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}i$

(2)

(i) 絶対値: $\frac{\sqrt{3}}{2}$, 偏角: $\frac{\pi}{6}$

(ii) $\beta$ の絶対値: $2\sqrt{3}$, 偏角: $\frac{5\pi}{12}$

(iii) $8$ 個