問題231は、与えられた数列の第k項を求め、さらに初項から第n項までの和を求める問題です。 (1) $3^2, 5^2, 7^2, 9^2, 11^2, ...$ (2) $1\cdot2, 2\cdot7, 3\cdot12, 4\cdot17, ...$

1. 問題の内容

問題231は、与えられた数列の第k項を求め、さらに初項から第n項までの和を求める問題です。

(1) $3^2, 5^2, 7^2, 9^2, 11^2, ...$

(2) $1\cdot2, 2\cdot7, 3\cdot12, 4\cdot17, ...$

2. 解き方の手順

(1)

数列の一般項$a_n$は、$a_n = (2n+1)^2$と表されます。したがって、第k項$a_k$は、$a_k = (2k+1)^2$となります。

初項から第n項までの和$S_n$は、以下の通り計算できます。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k+1)^2 = \sum_{k=1}^{n} (4k^2 + 4k + 1) = 4\sum_{k=1}^{n} k^2 + 4\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

$S_n = 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} + 2n(n+1) + n$

$S_n = \frac{2n(n+1)(2n+1) + 6n(n+1) + 3n}{3} = \frac{2n(n+1)(2n+4) + 3n}{3} = \frac{n(2(n+1)(2n+4)+3)}{3} = \frac{n(4n^2+12n+8+3)}{3} = \frac{n(4n^2+12n+11)}{3}$

(2)

数列の各項は、$1\cdot2, 2\cdot7, 3\cdot12, 4\cdot17, ...$ となっています。

それぞれの項は、$n(5n-3)$と表せるので、一般項$a_n$は、$a_n = n(5n-3) = 5n^2-3n$となります。

第k項$a_k$は、$a_k = k(5k-3) = 5k^2 - 3k$となります。

初項から第n項までの和$S_n$は、以下の通り計算できます。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (5k^2 - 3k) = 5\sum_{k=1}^{n} k^2 - 3\sum_{k=1}^{n} k$

$S_n = 5 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{5n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{9n(n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(10n+5-9)}{6} = \frac{n(n+1)(10n-4)}{6} = \frac{n(n+1)(5n-2)}{3}$

3. 最終的な答え

(1)

第k項: $(2k+1)^2$

初項から第n項までの和: $\frac{n(4n^2+12n+11)}{3}$

(2)

第k項: $k(5k-3)$

初項から第n項までの和: $\frac{n(n+1)(5n-2)}{3}$