与えられた式の値を計算します。式は $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{2}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた式の値を計算します。式は $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{2}}$ です。

2. 解き方の手順

分母の有理化を行います。分母分子に $\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2})}$

分母は $(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 - 2 = 6 + 2\sqrt{15}$ となります。

分子は $(\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + 2\sqrt{5}\sqrt{2} + 2\sqrt{3}\sqrt{2} = 5 + 3 + 2 + 2\sqrt{15} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{6} = 10 + 2\sqrt{15} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{6}$ となります。

よって、$\frac{10 + 2\sqrt{15} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{6}}{6 + 2\sqrt{15}} = \frac{5 + \sqrt{15} + \sqrt{10} + \sqrt{6}}{3 + \sqrt{15}}$

ここで、分母分子に $3-\sqrt{15}$を掛けて、分母を有理化します。

$\frac{(5 + \sqrt{15} + \sqrt{10} + \sqrt{6})(3-\sqrt{15})}{(3 + \sqrt{15})(3-\sqrt{15})} = \frac{15 - 5\sqrt{15} + 3\sqrt{15} - 15 + 3\sqrt{10} - \sqrt{150} + 3\sqrt{6} - \sqrt{90}}{9 - 15} = \frac{-2\sqrt{15} + 3\sqrt{10} - 5\sqrt{6} + 3\sqrt{6} - 3\sqrt{10}}{-6} = \frac{-2\sqrt{15} - 2\sqrt{6}}{-6} = \frac{\sqrt{15} + \sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{15} + \sqrt{6}}{3}$