(1) $(2x+3)^4$ の展開式における $x^3$ の係数を求める。 (2) $(x-2y)^5$ の展開式における $x^2y^3$ の係数を求める。

1. 問題の内容

(1) $(2x+3)^4$ の展開式における $x^3$ の係数を求める。

(2) $(x-2y)^5$ の展開式における $x^2y^3$ の係数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 二項定理を用いる。$(a+b)^n$ の展開式における一般項は ${}_n C_r a^{n-r} b^r$ である。

$(2x+3)^4$ の展開式における一般項は

${}_4 C_r (2x)^{4-r} 3^r = {}_4 C_r 2^{4-r} x^{4-r} 3^r$

$x^3$ の項は $4-r=3$、つまり $r=1$ のときである。

よって、 $x^3$ の係数は ${}_4 C_1 2^{4-1} 3^1 = 4 \times 2^3 \times 3 = 4 \times 8 \times 3 = 96$

(2) 二項定理を用いる。$(a+b)^n$ の展開式における一般項は ${}_n C_r a^{n-r} b^r$ である。

$(x-2y)^5$ の展開式における一般項は

${}_5 C_r x^{5-r} (-2y)^r = {}_5 C_r x^{5-r} (-2)^r y^r$

$x^2 y^3$ の項は $5-r=2$ かつ $r=3$ のときである。

よって、$x^2 y^3$ の係数は ${}_5 C_3 (-2)^3 = {}_5 C_2 (-8) = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times (-8) = 10 \times (-8) = -80$

3. 最終的な答え

(1) 96

(2) -80