二項定理を用いて、次の式を展開せよ。 (1) $(x+1)^4$ (2) $(x-2)^6$

1. 問題の内容

二項定理を用いて、次の式を展開せよ。

(1) $(x+1)^4$

(2) $(x-2)^6$

2. 解き方の手順

二項定理は、$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k a^{n-k} b^k$ で表されます。ここで、${}_n C_k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ は二項係数です。

(1) $(x+1)^4$ の展開

$a = x$, $b = 1$, $n = 4$ として、二項定理を適用します。

$(x+1)^4 = {}_4 C_0 x^4 1^0 + {}_4 C_1 x^3 1^1 + {}_4 C_2 x^2 1^2 + {}_4 C_3 x^1 1^3 + {}_4 C_4 x^0 1^4$

二項係数を計算します。

${}_4 C_0 = 1$

${}_4 C_1 = 4$

${}_4 C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

${}_4 C_3 = 4$

${}_4 C_4 = 1$

したがって、

$(x+1)^4 = 1 \cdot x^4 \cdot 1 + 4 \cdot x^3 \cdot 1 + 6 \cdot x^2 \cdot 1 + 4 \cdot x \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1$

$(x+1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$

(2) $(x-2)^6$ の展開

$a = x$, $b = -2$, $n = 6$ として、二項定理を適用します。

$(x-2)^6 = \sum_{k=0}^{6} {}_6 C_k x^{6-k} (-2)^k$

$(x-2)^6 = {}_6 C_0 x^6 (-2)^0 + {}_6 C_1 x^5 (-2)^1 + {}_6 C_2 x^4 (-2)^2 + {}_6 C_3 x^3 (-2)^3 + {}_6 C_4 x^2 (-2)^4 + {}_6 C_5 x^1 (-2)^5 + {}_6 C_6 x^0 (-2)^6$

二項係数を計算します。

${}_6 C_0 = 1$

${}_6 C_1 = 6$

${}_6 C_2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

${}_6 C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

${}_6 C_4 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

${}_6 C_5 = 6$

${}_6 C_6 = 1$

したがって、

$(x-2)^6 = 1 \cdot x^6 \cdot 1 + 6 \cdot x^5 \cdot (-2) + 15 \cdot x^4 \cdot 4 + 20 \cdot x^3 \cdot (-8) + 15 \cdot x^2 \cdot 16 + 6 \cdot x \cdot (-32) + 1 \cdot 1 \cdot 64$

$(x-2)^6 = x^6 - 12x^5 + 60x^4 - 160x^3 + 240x^2 - 192x + 64$

3. 最終的な答え

(1) $(x+1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$

(2) $(x-2)^6 = x^6 - 12x^5 + 60x^4 - 160x^3 + 240x^2 - 192x + 64$