与えられた式の展開における指定された項の係数を求めます。 (1) $(2x+3)^4$ の展開における $x^3$ の係数を求めます。 (2) $(x-2y)^4$ の展開における $x^2y^2$ の係数を求めます。

1. 問題の内容

与えられた式の展開における指定された項の係数を求めます。

(1) $(2x+3)^4$ の展開における $x^3$ の係数を求めます。

(2) $(x-2y)^4$ の展開における $x^2y^2$ の係数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 二項定理を用いて展開式を考えます。$(2x+3)^4$ の一般項は、

$${}_4C_k (2x)^{4-k} 3^k$$

$x^3$ の項を求めるので、$4-k=3$ となる $k$ を求めると、$k=1$ です。

よって、$x^3$ の項は、

$${}_4C_1 (2x)^3 3^1 = 4 \cdot 8x^3 \cdot 3 = 96x^3$$

したがって、$x^3$ の係数は $96$ です。

(2) 二項定理を用いて展開式を考えます。$(x-2y)^4$ の一般項は、

$${}_4C_k x^{4-k} (-2y)^k$$

$x^2y^2$ の項を求めるので、$4-k=2$ となる $k$ を求めると、$k=2$ です。

よって、$x^2y^2$ の項は、

$${}_4C_2 x^2 (-2y)^2 = 6 \cdot x^2 \cdot 4y^2 = 24x^2y^2$$

したがって、$x^2y^2$ の係数は $24$ です。

3. 最終的な答え

(1) $96$

(2) $24$