パスカルの三角形の性質を用いて、パスカルの三角形の6行目の数の配列を求め、$(a+b)^6$ の展開式を求める。

1. 問題の内容

パスカルの三角形の性質を用いて、パスカルの三角形の6行目の数の配列を求め、$(a+b)^6$ の展開式を求める。

2. 解き方の手順

パスカルの三角形の6行目の数字は、二項係数 $_6C_0, _6C_1, _6C_2, _6C_3, _6C_4, _6C_5, _6C_6$ に相当します。これらの値を計算します。

* $_6C_0 = 1$

* $_6C_1 = 6$

* $_6C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

* $_6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

* $_6C_4 = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 15$

* $_6C_5 = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 6$

* $_6C_6 = 1$

したがって、パスカルの三角形の6行目の数の配列は 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 です。

二項定理より、 $(a+b)^6$ の展開式は次のようになります。

$(a+b)^6 = _6C_0 a^6 b^0 + _6C_1 a^5 b^1 + _6C_2 a^4 b^2 + _6C_3 a^3 b^3 + _6C_4 a^2 b^4 + _6C_5 a^1 b^5 + _6C_6 a^0 b^6$

係数を代入すると、

$(a+b)^6 = 1a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + 1b^6$

$(a+b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$

3. 最終的な答え

パスカルの三角形の6行目の数の配列：1, 6, 15, 20, 15, 6, 1

$(a+b)^6$ の展開式：$a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$