与えられた対数方程式を解く問題です。方程式は $log_2(x^2-x-18) - log_2(x-1) = 3$ です。

1. 問題の内容

与えられた対数方程式を解く問題です。方程式は $log_2(x^2-x-18) - log_2(x-1) = 3$ です。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を利用して、左辺をまとめます。対数の引き算は、真数の割り算になるので、

$log_2(\frac{x^2-x-18}{x-1}) = 3$

次に、対数の定義より、

$\frac{x^2-x-18}{x-1} = 2^3$

$\frac{x^2-x-18}{x-1} = 8$

両辺に $(x-1)$ を掛けて、

$x^2 - x - 18 = 8(x - 1)$

$x^2 - x - 18 = 8x - 8$

$x^2 - 9x - 10 = 0$

この二次方程式を解きます。因数分解すると、

$(x - 10)(x + 1) = 0$

よって、$x = 10$ または $x = -1$ です。

ここで、対数の中身が正である必要があるため、解の吟味を行います。

$x^2 - x - 18 > 0$ かつ $x - 1 > 0$ を満たす必要があります。

$x = 10$ のとき、$10^2 - 10 - 18 = 100 - 10 - 18 = 72 > 0$ かつ $10 - 1 = 9 > 0$ なので、$x=10$ は解として適切です。

$x = -1$ のとき、$-1 - 1 = -2 < 0$ なので、$log_2(x-1)$ が定義できません。したがって、$x = -1$ は不適です。

3. 最終的な答え

$x = 10$