複素数 $z = a + bi$ (ここで $a$ と $b$ は整数) が与えられ、$z^2 = 8 - 6i$ を満たすような $z$ を求める問題です。

1. 問題の内容

複素数 $z = a + bi$ (ここで $a$ と $b$ は整数) が与えられ、$z^2 = 8 - 6i$ を満たすような $z$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$z^2 = (a + bi)^2$ を展開します。

$(a + bi)^2 = a^2 + 2abi + (bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2 = (a^2 - b^2) + 2abi$

これが $8 - 6i$ に等しいので、実部と虚部を比較すると、次の2つの式が得られます。

$a^2 - b^2 = 8$ (1)

$2ab = -6$ (2)

(2)式から、$ab = -3$ となります。$a$ と $b$ は整数なので、$a$ と $b$ の組み合わせは、$(a, b) = (1, -3), (-1, 3), (3, -1), (-3, 1)$ の4通りが考えられます。

それぞれの組み合わせについて、(1)式が成り立つかを確認します。

* $(a, b) = (1, -3)$ のとき、$a^2 - b^2 = 1^2 - (-3)^2 = 1 - 9 = -8$ (不適)

* $(a, b) = (-1, 3)$ のとき、$a^2 - b^2 = (-1)^2 - 3^2 = 1 - 9 = -8$ (不適)

* $(a, b) = (3, -1)$ のとき、$a^2 - b^2 = 3^2 - (-1)^2 = 9 - 1 = 8$ (適)

* $(a, b) = (-3, 1)$ のとき、$a^2 - b^2 = (-3)^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8$ (適)

したがって、$z = 3 - i$ と $z = -3 + i$ が解となります。

3. 最終的な答え

$z = 3 - i, -3 + i$