$a(b^2-c^2) + b(c^2-a^2) + c(a^2-b^2)$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

$a(b^2-c^2) + b(c^2-a^2) + c(a^2-b^2)$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$a(b^2-c^2) + b(c^2-a^2) + c(a^2-b^2) = ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2$

次に、aについて整理します。

$ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2 = -a^2(b-c) + a(b^2-c^2) + (bc^2-cb^2)$

さらに、因数分解できる部分を因数分解します。

$-a^2(b-c) + a(b^2-c^2) + (bc^2-cb^2) = -a^2(b-c) + a(b+c)(b-c) - bc(b-c)$

(b-c)が共通因数なので、これでくくります。

$-a^2(b-c) + a(b+c)(b-c) - bc(b-c) = (b-c)(-a^2 + a(b+c) - bc)$

次に、括弧の中身を整理します。

$(b-c)(-a^2 + a(b+c) - bc) = (b-c)(-a^2 + ab + ac - bc) = (b-c)[-a(a-b) + c(a-b)] = (b-c)(a-b)(-a+c) = -(b-c)(a-b)(a-c)$

よって、

$a(b^2-c^2) + b(c^2-a^2) + c(a^2-b^2) = -(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

$-(a-b)(b-c)(c-a)$