2次方程式 $x^2 + 2mx + m = 0$ について、以下の2つの問題を解く。 (1) 実数解を持つときの $m$ の値の範囲を求める。 (2) 異なる2つの虚数解を持つときの $m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2mx + m = 0$ について、以下の2つの問題を解く。

(1) 実数解を持つときの $m$ の値の範囲を求める。

(2) 異なる2つの虚数解を持つときの $m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式が実数解を持つ条件は、判別式 $D \geq 0$ である。

与えられた2次方程式の判別式 $D$ は

$D = (2m)^2 - 4(1)(m) = 4m^2 - 4m$

したがって、$4m^2 - 4m \geq 0$ となる $m$ の範囲を求める。

$4m^2 - 4m \geq 0$

$4m(m - 1) \geq 0$

$m(m-1) \geq 0$

この不等式を解くと、$m \leq 0$ または $m \geq 1$ となる。

(2) 2次方程式が異なる2つの虚数解を持つ条件は、判別式 $D < 0$ である。

判別式 $D$ は、$D = 4m^2 - 4m$ である。

したがって、$4m^2 - 4m < 0$ となる $m$ の範囲を求める。

$4m^2 - 4m < 0$

$4m(m - 1) < 0$

$m(m-1) < 0$

この不等式を解くと、$0 < m < 1$ となる。

3. 最終的な答え

(1) 実数解をもつとき: $m \leq 0$ または $m \geq 1$

(2) 異なる2つの虚数解をもつとき: $0 < m < 1$