$\alpha = 2\sqrt{2}(1+i)$ とするとき、等式 $|z-\alpha| = 2$ を満たす複素数 $z$ について、以下の問いに答える。 (1) 絶対値が最大となる $z$ を求めよ。 (2) 偏角が最大となる $z$ を $\beta$ とおくとき、次をそれぞれ求めよ。 (i) $\frac{\beta}{\alpha}$ の絶対値と偏角 (ii) $\beta$ とその偏角 (iii) $1 \leq n \leq 100$ の範囲で、$\beta^n$ が実数になる整数 $n$ の個数

1. 問題の内容

$\alpha = 2\sqrt{2}(1+i)$ とするとき、等式 $|z-\alpha| = 2$ を満たす複素数 $z$ について、以下の問いに答える。

(1) 絶対値が最大となる $z$ を求めよ。

(2) 偏角が最大となる $z$ を $\beta$ とおくとき、次をそれぞれ求めよ。

(i) $\frac{\beta}{\alpha}$ の絶対値と偏角

(ii) $\beta$ とその偏角

(iii) $1 \leq n \leq 100$ の範囲で、$\beta^n$ が実数になる整数 $n$ の個数

2. 解き方の手順

まず、$\alpha$ を極形式で表す。

$\alpha = 2\sqrt{2}(1+i) = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}) = 4(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})$

つまり、$\alpha$ の絶対値は $|\alpha| = 4$ であり、偏角は $\arg \alpha = \frac{\pi}{4}$ である。

(1) $|z - \alpha| = 2$ は、複素数平面上で、中心が $\alpha$ で半径が $2$ の円を表す。絶対値 $|z|$ が最大になるのは、円の中心 $\alpha$ から原点を通る直線と円の交点のうち、原点から最も遠い点である。

$z = \alpha + 2(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}) = 4(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}) + 2(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}) = 6(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}) = 6(\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}i$

(2) $|z - \alpha| = 2$ の円において、偏角が最大となる $z$ は、円の中心 $\alpha$ から円に引いた接線の接点である。中心 $\alpha$ から原点を通る直線と、接線は直交する。

円の中心 $\alpha$ を通り、$x$軸に平行な直線を引き、円と交わる点を考える。

円の中心を $\alpha$ とし、偏角が最大となる点を $\beta$ とすると、$\beta$ は中心 $\alpha$ から反時計回りに $\frac{\pi}{2}$ 進んだ点に位置する。よって、

$\beta = \alpha + 2(\cos (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}) + i \sin (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2})) = 4(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}) + 2(\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4}) = 4(\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}) + 2(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}) = (2\sqrt{2} - \sqrt{2}) + i(2\sqrt{2} + \sqrt{2}) = \sqrt{2} + 3\sqrt{2}i$

(i)

$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{\sqrt{2} + 3\sqrt{2}i}{2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}i} = \frac{1+3i}{4(1+i)} = \frac{(1+3i)(1-i)}{4(1+i)(1-i)} = \frac{1 - i + 3i - 3i^2}{4(1-i^2)} = \frac{4+2i}{8} = \frac{2+i}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}i$

$|\frac{\beta}{\alpha}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{4})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{5}{16}} = \frac{\sqrt{5}}{4}$

$\arg \frac{\beta}{\alpha} = \arctan \frac{1/4}{1/2} = \arctan \frac{1}{2}$

(ii)

$\beta = \sqrt{2} + 3\sqrt{2}i$

$|\beta| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 18} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

$\arg \beta = \arctan \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \arctan 3$

(iii)

$\beta = 2\sqrt{5}(\cos \theta + i \sin \theta)$ とおく。ただし、$\theta = \arctan 3$ である。

$\beta^n = (2\sqrt{5})^n(\cos n\theta + i \sin n\theta)$

$\beta^n$ が実数になるのは、$\sin n\theta = 0$ のとき。

$n\theta = k\pi$ ($k$ は整数)

$n = \frac{k\pi}{\theta} = \frac{k\pi}{\arctan 3}$

$\theta = \arctan 3$ なので、$\tan \theta = 3$

$n\theta = k\pi$ から $\frac{n}{k} = \frac{\pi}{\theta} = \frac{\pi}{\arctan 3}$

$n \in \{1, 2, ..., 100\}$

$\beta^n$ が実数となるには、$n \arctan 3 = k\pi$ となる整数 $k$ が存在する必要がある。

$\theta \approx 1.249$ なので、$n \theta = k \pi \Rightarrow n \approx \frac{k \pi}{1.249}$

$\pi/1.249 = 2.515$

$n = \frac{k \pi}{\arctan 3} = 0, k =1, k =2$

$n=1, k\in \mathbb{N}$ のとき、

$n = \frac{k \pi }{\theta} = \frac{k \times 3.14...}{1.249} = 2.515k$

$1 \le n \le 100$ より $1 \le 2.515k \le 100$ から $0.3976 \le k \le 39.76$

$k = 1, 2, ..., 39$ の $39$ 個

3. 最終的な答え

(1) $z = 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}i$

(2)

(i) $|\frac{\beta}{\alpha}| = \frac{\sqrt{5}}{4}$, $\arg \frac{\beta}{\alpha} = \arctan \frac{1}{2}$

(ii) $\beta = \sqrt{2} + 3\sqrt{2}i$, $\arg \beta = \arctan 3$

(iii) 39 個