複素数 $z = \cos(-5 \times \frac{2}{3}\pi) + i\sin(-5 \times \frac{2}{3}\pi)$ を計算し、簡単な形で表す問題です。

1. 問題の内容

複素数 $z = \cos(-5 \times \frac{2}{3}\pi) + i\sin(-5 \times \frac{2}{3}\pi)$ を計算し、簡単な形で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を計算します。

$z = \cos(-\frac{10}{3}\pi) + i\sin(-\frac{10}{3}\pi)$

$-\frac{10}{3}\pi$ に $2\pi$ を足して、同値な角度を見つけます。

$-\frac{10}{3}\pi + 2\pi = -\frac{10}{3}\pi + \frac{6}{3}\pi = -\frac{4}{3}\pi$

さらに $2\pi$ を足します。

$-\frac{4}{3}\pi + 2\pi = -\frac{4}{3}\pi + \frac{6}{3}\pi = \frac{2}{3}\pi$

したがって、

$z = \cos(\frac{2}{3}\pi) + i\sin(\frac{2}{3}\pi)$

$\cos(\frac{2}{3}\pi) = -\frac{1}{2}$

$\sin(\frac{2}{3}\pi) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ゆえに、

$z = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$