与えられた対数方程式 $\log_4(x+2) + \log_{\frac{1}{2}}x = 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた対数方程式 $\log_4(x+2) + \log_{\frac{1}{2}}x = 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、底の変換公式を使って、対数の底を統一します。

$\log_{\frac{1}{2}}x = \frac{\log_4 x}{\log_4 \frac{1}{2}}$

ここで、$\log_4 \frac{1}{2} = \log_4 2^{-1} = -1\log_4 2 = -1 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$ なので、

$\log_{\frac{1}{2}}x = \frac{\log_4 x}{-\frac{1}{2}} = -2\log_4 x$

よって、与えられた方程式は

$\log_4(x+2) - 2\log_4 x = 0$

$\log_4(x+2) = 2\log_4 x$

$\log_4(x+2) = \log_4 x^2$

対数の真数を比較して、

$x+2 = x^2$

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x-2)(x+1) = 0$

$x = 2, -1$

ここで、真数条件を確認します。

$\log_4(x+2)$ より $x+2 > 0$ つまり $x > -2$

$\log_{\frac{1}{2}}x$ より $x > 0$

よって、$x > 0$ でなければなりません。

したがって、$x = 2$ のみが解となります。$x=-1$ は真数条件を満たさないため解ではありません。

3. 最終的な答え

x = 2