与えられた等式 $x^3 - 1 = a(x-1)(x-2)(x-3) + b(x-1)(x-2) + c(x-1) + d$ が、$x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c, d$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた等式 $x^3 - 1 = a(x-1)(x-2)(x-3) + b(x-1)(x-2) + c(x-1) + d$ が、$x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c, d$ の値を求める。

2. 解き方の手順

この等式が恒等式であるためには、任意の $x$ の値に対して等式が成立する必要があります。そこで、$x$ に特定の値を代入することで、$a, b, c, d$ の値を順に求めることができます。

ステップ1: $x = 1$ を代入する。

$1^3 - 1 = a(1-1)(1-2)(1-3) + b(1-1)(1-2) + c(1-1) + d$

$0 = 0 + 0 + 0 + d$

よって、$d = 0$

ステップ2: $x = 2$ を代入する。

$2^3 - 1 = a(2-1)(2-2)(2-3) + b(2-1)(2-2) + c(2-1) + d$

$7 = 0 + 0 + c + 0$

よって、$c = 7$

ステップ3: $x = 3$ を代入する。

$3^3 - 1 = a(3-1)(3-2)(3-3) + b(3-1)(3-2) + c(3-1) + d$

$26 = 0 + 2b + 2c + 0$

$26 = 2b + 2(7)$

$26 = 2b + 14$

$12 = 2b$

よって、$b = 6$

ステップ4: $x = 0$ を代入する。

$0^3 - 1 = a(0-1)(0-2)(0-3) + b(0-1)(0-2) + c(0-1) + d$

$-1 = a(-1)(-2)(-3) + b(-1)(-2) + c(-1) + d$

$-1 = -6a + 2b - c + 0$

$-1 = -6a + 2(6) - 7$

$-1 = -6a + 12 - 7$

$-1 = -6a + 5$

$-6 = -6a$

よって、$a = 1$

3. 最終的な答え

$a = 1$

$b = 6$

$c = 7$

$d = 0$