与えられた式 $2ab + 2b^2 - a + b - 1$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $2ab + 2b^2 - a + b - 1$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を並び替えます。

$2b^2 + 2ab + b - a - 1$

次に、$2b^2 + 2ab + b$ の部分を $b$ でくくると、

$b(2b + 2a + 1) - a - 1$

さらに式を変形するために、符号を調整して$(2a+2b+1)$の形を作ります。

$2b(a+b)-a+b-1 = -a-1 = -(a+1)$

$b(2a+2b+1) - (a+1)$

もう一度整理します。

$2ab + 2b^2 -a + b - 1=2b(a+b) - (a-b+1)$

$2ab+2b^2+b-a-1$

ここで、全体を因数分解できるかどうかを考えます。

$2b^2 + 2ab + b -a - 1$

$2b^2 + (2a+1)b - (a+1)$

ここで、たすき掛けを試みます。

$2b^2 + (2a+1)b - (a+1)$

$= (2b-(1))(b+a+1)$

$= (2b-1)(b+a+1)$

$(2b-1)(b+a+1) = 2b^2 +2ab +2b -b -a-1 = 2b^2 +2ab +b -a-1$

元の式と同じになることを確認します。

3. 最終的な答え

$(2b-1)(a+b+1)$