二項定理の展開式 $(1+x)^n = {}_nC_0 + {}_nC_1 x + {}_nC_2 x^2 + \dots + {}_nC_n x^n$ を用いて、$x=1$ を代入した等式 $2^n = {}_nC_0 + {}_nC_1 + {}_nC_2 + \dots + {}_nC_n$ から、${}_nC_0 - {}_nC_1 + {}_nC_2 - \dots + (-1)^n {}_nC_n = 0$ を導く。

1. 問題の内容

二項定理の展開式 $(1+x)^n = {}_nC_0 + {}_nC_1 x + {}_nC_2 x^2 + \dots + {}_nC_n x^n$ を用いて、$x=1$ を代入した等式 $2^n = {}_nC_0 + {}_nC_1 + {}_nC_2 + \dots + {}_nC_n$ から、${}_nC_0 - {}_nC_1 + {}_nC_2 - \dots + (-1)^n {}_nC_n = 0$ を導く。

2. 解き方の手順

与えられた等式

$(1+x)^n = {}_nC_0 + {}_nC_1 x + {}_nC_2 x^2 + \dots + {}_nC_n x^n$

において、$x=-1$ を代入する。すると、

$(1+(-1))^n = {}_nC_0 + {}_nC_1 (-1) + {}_nC_2 (-1)^2 + \dots + {}_nC_n (-1)^n$

$0^n = {}_nC_0 - {}_nC_1 + {}_nC_2 - {}_nC_3 + \dots + (-1)^n {}_nC_n$

$n \ge 1$ のとき、$0^n = 0$であるから、

$0 = {}_nC_0 - {}_nC_1 + {}_nC_2 - {}_nC_3 + \dots + (-1)^n {}_nC_n$

よって、求める等式は

${}_nC_0 - {}_nC_1 + {}_nC_2 - \dots + (-1)^n {}_nC_n = 0$

である。

3. 最終的な答え

${}_nC_0 - {}_nC_1 + {}_nC_2 - \dots + (-1)^n {}_nC_n = 0$