(1) 連続する5つの整数の和が5の倍数になることを、文字を使って説明する。 (2) 連続する3つの偶数の和が6の倍数になることを、文字を使って説明する。 (3) カレンダーにおいて、図のような形に5つの数を切り取るとき、この5つの数の和が5の倍数になることを、文字を使って説明する。

1. 問題の内容

(1) 連続する5つの整数の和が5の倍数になることを、文字を使って説明する。

(2) 連続する3つの偶数の和が6の倍数になることを、文字を使って説明する。

(3) カレンダーにおいて、図のような形に5つの数を切り取るとき、この5つの数の和が5の倍数になることを、文字を使って説明する。

2. 解き方の手順

(1) 連続する5つの整数を、$n$ を整数として $n, n+1, n+2, n+3, n+4$ と表す。これらの和を計算する。

$n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) = 5n + 10 = 5(n+2)$

$5(n+2)$ は5の倍数である。

(2) 連続する3つの偶数を、$m$ を整数として $2m, 2m+2, 2m+4$ と表す。これらの和を計算する。

$2m + (2m+2) + (2m+4) = 6m + 6 = 6(m+1)$

$6(m+1)$ は6の倍数である。

(3) カレンダーの図のような形の5つの数を、$x$ を整数として $x, x+1, x+2, x+7, x+8$と表す。これらの和を計算する。

$x + (x+1) + (x+2) + (x+7) + (x+8) = 5x + 18$

$x$は、カレンダーの日付を表すので、例えば8, 9, 10, 15, 16, 17, 22, 23, 24, 29, 30, 31。

カレンダーに示された例では、8, 9, 10, 15, 16をとる。この場合、

8 + 9 + 10 + 15 + 16 = 58, これは5の倍数ではない。

一般にカレンダーでは、

$x, x+1, x+2$

$x+7, x+8$

の5つの数を取ることになる。これらの和は

$x + (x+1) + (x+2) + (x+7) + (x+8) = 5x + 18$

カレンダーでは、これらの和が5の倍数になることを証明したい。

最初の数をxとすると、他の数はx+1, x+2, x+7, x+8となる。

これらの数の合計は

$x + x+1 + x+2 + x+7 + x+8 = 5x + 18$となる。

カレンダーの他の取り出し方の例を考えると、

例えば、3, 4, 5, 10, 11の場合

3 + 4 + 5 + 10 + 11 = 33 これは5の倍数ではない。

問題文に誤りがあると考えられる。

しかし、問題文を素直に解釈すると、カレンダーの図のような形に5つの数を切り取るとき、この5つの数の和が5の倍数になることを説明せよ、となっている。

図から、5つの数は、ある数xから、x, x+1, x+2, x+7, x+8 と表せる。

これらの和は 5x + 18 となる。この値が常に5の倍数になるとのことである。

しかし、5x + 18 が5の倍数になるのは、18が5の倍数でない限り、xがある特定の条件を満たす必要がある。

問題文の指示通りに解くと、5x+18 が 5 の倍数になることは一般には言えない。

3. 最終的な答え

(1) 連続する5つの整数の和は $5(n+2)$ となり、5の倍数である。

(2) 連続する3つの偶数の和は $6(m+1)$ となり、6の倍数である。

(3) カレンダーの図のような形に5つの数を切り取ると、その和は $5x + 18$ となる。この値は常に5の倍数とは限らない。