媒介変数 $t$ で表された方程式 $x = t + 1$, $y = t^2 + 4t$ を、$x$ と $y$ の関係式で表し、そのグラフを描画する問題です。また、グラフと $x$ 軸との交点の座標を求めます。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ で表された方程式 $x = t + 1$, $y = t^2 + 4t$ を、$x$ と $y$ の関係式で表し、そのグラフを描画する問題です。また、グラフと $x$ 軸との交点の座標を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x = t + 1$ から $t$ を $x$ で表します。

$t = x - 1$

次に、$y = t^2 + 4t$ に $t = x - 1$ を代入して、$y$ を $x$ の式で表します。

$y = (x - 1)^2 + 4(x - 1)$

$y = x^2 - 2x + 1 + 4x - 4$

$y = x^2 + 2x - 3$

この式は、$y = (x + 1)^2 - 4$ と変形できます。

このことから、グラフは頂点が $(-1, -4)$ の下に凸な放物線であることがわかります。

グラフと $x$ 軸との交点を求めるには、$y = 0$ とおいて、$x$ について解きます。

$x^2 + 2x - 3 = 0$

$(x + 3)(x - 1) = 0$

$x = -3, 1$

したがって、グラフと $x$ 軸との交点の座標は $(-3, 0)$ と $(1, 0)$ です。

3. 最終的な答え

$y = x^2 + 2x - 3$ または $y = (x + 1)^2 - 4$

グラフは頂点が $(-1, -4)$ の下に凸な放物線。

グラフと $x$ 軸との交点の座標は $(-3, 0)$ と $(1, 0)$ 。