(1) (i) $2k^2 + k - 10$ を因数分解する。 (ii) $x^2 - 3(k+1)x + 2k^2 + k - 10$ を因数分解する。 (2) $k$ を正の定数とする。2次方程式 $x^2 - 3(k+1)x + 2k^2 + k - 10 = 0$ の2つの解を $p, q$ ($p < q$) とするとき、$p^2 = q$ を満たしている。 (i) $k$ の値を求める。 (ii) $p$ の小数部分を $r$ とするとき、$I = \frac{53}{p-2} - \frac{5}{q-4}$ の小数部分を、有理数を係数とする $r$ の1次式で表す。

1. 問題の内容

(1) (i) $2k^2 + k - 10$ を因数分解する。

(ii) $x^2 - 3(k+1)x + 2k^2 + k - 10$ を因数分解する。

(2) $k$ を正の定数とする。2次方程式 $x^2 - 3(k+1)x + 2k^2 + k - 10 = 0$ の2つの解を $p, q$ ($p < q$) とするとき、$p^2 = q$ を満たしている。

(i) $k$ の値を求める。

(ii) $p$ の小数部分を $r$ とするとき、$I = \frac{53}{p-2} - \frac{5}{q-4}$ の小数部分を、有理数を係数とする $r$ の1次式で表す。

2. 解き方の手順

(1) (i) $2k^2 + k - 10 = (2k + 5)(k - 2)$

(ii) $x^2 - 3(k+1)x + 2k^2 + k - 10 = x^2 - 3(k+1)x + (2k + 5)(k - 2)$

$= (x - (k-2))(x - (2k+5)) = (x - k + 2)(x - 2k - 5)$

(2) (i) 2次方程式 $x^2 - 3(k+1)x + 2k^2 + k - 10 = 0$ の解は $x = k-2, 2k+5$。$p < q$ より、 $p = k-2, q = 2k+5$ となる。条件 $p^2 = q$ より、

$(k-2)^2 = 2k+5$

$k^2 - 4k + 4 = 2k + 5$

$k^2 - 6k - 1 = 0$

$k = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 3 \pm \sqrt{10}$

$k > 0$ より、$k = 3 + \sqrt{10}$

(ii) $p = k - 2 = 3 + \sqrt{10} - 2 = 1 + \sqrt{10}$

$3 < \sqrt{10} < 4$ より、$4 < 1 + \sqrt{10} < 5$。したがって、$p$ の整数部分は4なので、小数部分は $r = p - 4 = 1 + \sqrt{10} - 4 = \sqrt{10} - 3$。

$q = p^2 = (1+\sqrt{10})^2 = 1 + 2\sqrt{10} + 10 = 11 + 2\sqrt{10}$

$p - 2 = 1 + \sqrt{10} - 2 = \sqrt{10} - 1$

$q - 4 = 11 + 2\sqrt{10} - 4 = 7 + 2\sqrt{10}$

$I = \frac{53}{p-2} - \frac{5}{q-4} = \frac{53}{\sqrt{10}-1} - \frac{5}{7+2\sqrt{10}}$

$= \frac{53(\sqrt{10}+1)}{10-1} - \frac{5(7-2\sqrt{10})}{49 - 40} = \frac{53(\sqrt{10}+1)}{9} - \frac{5(7-2\sqrt{10})}{9}$

$= \frac{53\sqrt{10} + 53 - 35 + 10\sqrt{10}}{9} = \frac{63\sqrt{10} + 18}{9} = 7\sqrt{10} + 2$

$7\sqrt{10} + 2 = 7(\sqrt{10} - 3) + 21 + 2 = 7(\sqrt{10} - 3) + 23$

$7\sqrt{10} + 2 = 7r + 23$

$63 < 7\sqrt{10} < 28$ より、$8 < 7\sqrt{10}+2 - 22$

$I = 7r + 23$ なので、小数部分は存在しないはずだが？

$r = \sqrt{10} - 3$, $I = 7\sqrt{10}+2 = 7(\sqrt{10}-3)+23 = 7r + 23$. $I$ の小数部分を求めたい.

$r = \sqrt{10} - 3$ のとき $r^2+6r-1=0$。

$7\sqrt{10} = 7(r+3) = 7r+21$. $I=7\sqrt{10}+2 = 7r+21+2 = 7r+23$.

$\sqrt{10}=3.16$ くらい. $r=0.16$. $7r+23 = 1.12+23 = 24.12$

$7\sqrt{10} + 2 \approx 7*3.162 + 2 = 22.134+2=24.134$

$I$ の小数部分は、$7r$ の小数部分。$r = \sqrt{10} - 3$, $I = 7(\sqrt{10} - 3) + 23 = 7r + 23$

3. 最終的な答え

(1) (i) $(2k+5)(k-2)$

(ii) $(x-k+2)(x-2k-5)$

(2) (i) $k = 3 + \sqrt{10}$

(ii) $7r$