$\sqrt{x^2 + \sqrt{x^2 - 4x + 4}}$ を、(1) $x < 0$, (2) $0 \le x < 2$, (3) $2 \le x$ のそれぞれの場合について簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{x^2 + \sqrt{x^2 - 4x + 4}}$ を、(1) $x < 0$, (2) $0 \le x < 2$, (3) $2 \le x$ のそれぞれの場合について簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、内側の根号を整理します。

$x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$ であるから、

$\sqrt{x^2 - 4x + 4} = \sqrt{(x-2)^2} = |x-2|$

したがって、

$\sqrt{x^2 + \sqrt{x^2 - 4x + 4}} = \sqrt{x^2 + |x-2|}$

(1) $x < 0$ のとき、$x - 2 < 0$ であるから $|x-2| = -(x-2) = 2 - x$ となる。

よって、

$\sqrt{x^2 + |x-2|} = \sqrt{x^2 + 2 - x} = \sqrt{x^2 - x + 2}$

(2) $0 \le x < 2$ のとき、$x - 2 < 0$ であるから $|x-2| = -(x-2) = 2 - x$ となる。

よって、

$\sqrt{x^2 + |x-2|} = \sqrt{x^2 + 2 - x} = \sqrt{x^2 - x + 2}$

(3) $2 \le x$ のとき、$x - 2 \ge 0$ であるから $|x-2| = x - 2$ となる。

よって、

$\sqrt{x^2 + |x-2|} = \sqrt{x^2 + x - 2} = \sqrt{(x+2)(x-1)}$

3. 最終的な答え

(1) $x < 0$ のとき、$\sqrt{x^2 - x + 2}$

(2) $0 \le x < 2$ のとき、$\sqrt{x^2 - x + 2}$

(3) $2 \le x$ のとき、$\sqrt{x^2 + x - 2}$

あるいは $\sqrt{(x+2)(x-1)}$