$\sqrt{x^2 + \sqrt{x^2 - 4x + 4}}$ を次の3つの場合について簡単にせよ。 (1) $x < 0$ (2) $0 \le x < 2$ (3) $2 \le x$

1. 問題の内容

$\sqrt{x^2 + \sqrt{x^2 - 4x + 4}}$ を次の3つの場合について簡単にせよ。

(1) $x < 0$

(2) $0 \le x < 2$

(3) $2 \le x$

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x^2 - 4x + 4}$ を簡単にします。

$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$ なので、$\sqrt{x^2 - 4x + 4} = \sqrt{(x - 2)^2} = |x - 2|$ となります。

次に、各場合について $|x - 2|$ を考えます。

(1) $x < 0$ のとき、 $x - 2 < 0$ なので、 $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$ です。

したがって、$\sqrt{x^2 + |x - 2|} = \sqrt{x^2 + 2 - x}$ となります。

この式はこれ以上簡単にはなりません。

(2) $0 \le x < 2$ のとき、 $x - 2 < 0$ なので、 $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$ です。

したがって、$\sqrt{x^2 + |x - 2|} = \sqrt{x^2 + 2 - x}$ となります。

この式はこれ以上簡単にはなりません。

(3) $2 \le x$ のとき、 $x - 2 \ge 0$ なので、 $|x - 2| = x - 2$ です。

したがって、$\sqrt{x^2 + |x - 2|} = \sqrt{x^2 + x - 2} = \sqrt{(x + 2/3)^2 - 2 - 4/9}$ となります。

$x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$ と因数分解できます。

したがって、$\sqrt{x^2 + x - 2} = \sqrt{(x - 1)(x + 2)}$ となります。

それぞれのケースについてまとめます。

(1) $x < 0$ のとき： $\sqrt{x^2 + 2 - x}$

(2) $0 \le x < 2$ のとき： $\sqrt{x^2 + 2 - x}$

(3) $2 \le x$ のとき： $\sqrt{x^2 + x - 2} = \sqrt{(x - 1)(x + 2)}$

3. 最終的な答え

(1) $x < 0$ のとき： $\sqrt{x^2 - x + 2}$

(2) $0 \le x < 2$ のとき： $\sqrt{x^2 - x + 2}$

(3) $2 \le x$ のとき： $\sqrt{x^2 + x - 2} = \sqrt{(x-1)(x+2)}$