方程式 $x+y+z=9$ を満たす自然数 $x, y, z$ の組 $(x, y, z)$ の総数を求めよ。

1. 問題の内容

方程式 $x+y+z=9$ を満たす自然数 $x, y, z$ の組 $(x, y, z)$ の総数を求めよ。

2. 解き方の手順

自然数という条件があるので、$x, y, z$ はそれぞれ1以上の整数である。

$x'=x-1$, $y'=y-1$, $z'=z-1$ とおくと、$x', y', z'$ は0以上の整数となる。

このとき、元の式は以下のように書き換えられる。

$(x'+1) + (y'+1) + (z'+1) = 9$

$x' + y' + z' = 9 - 3$

$x' + y' + z' = 6$

この式を満たす非負整数 $x', y', z'$ の組の数を求める。

これは、6個の区別できない球を3つの区別できる箱に入れる場合の数と考えることができる。

これは重複組み合わせの問題であり、公式 ${}_{n}H_{r} = {}_{n+r-1}C_{r}$ を用いて計算できる。

ここで、$n=3$, $r=6$ である。

よって、

${}_{3}H_{6} = {}_{3+6-1}C_{6} = {}_{8}C_{6} = {}_{8}C_{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

3. 最終的な答え

28