与えられた複素数の式を計算し、その結果を求めます。 式は、 $\frac{1 + 3\sqrt{3}i}{\sqrt{3} + i} + \frac{3\sqrt{3} + i}{1 + \sqrt{3}i}$ です。

1. 問題の内容

与えられた複素数の式を計算し、その結果を求めます。

式は、

$\frac{1 + 3\sqrt{3}i}{\sqrt{3} + i} + \frac{3\sqrt{3} + i}{1 + \sqrt{3}i}$

です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数を簡単にします。

最初の分数：

$\frac{1 + 3\sqrt{3}i}{\sqrt{3} + i}$ の分母と分子に $\sqrt{3} - i$ を掛けます。

$\frac{(1 + 3\sqrt{3}i)(\sqrt{3} - i)}{(\sqrt{3} + i)(\sqrt{3} - i)} = \frac{\sqrt{3} - i + 9i + 3\sqrt{3}}{3 + 1} = \frac{4\sqrt{3} + 8i}{4} = \sqrt{3} + 2i$

2番目の分数：

$\frac{3\sqrt{3} + i}{1 + \sqrt{3}i}$ の分母と分子に $1 - \sqrt{3}i$ を掛けます。

$\frac{(3\sqrt{3} + i)(1 - \sqrt{3}i)}{(1 + \sqrt{3}i)(1 - \sqrt{3}i)} = \frac{3\sqrt{3} - 9i + i + \sqrt{3}}{1 + 3} = \frac{4\sqrt{3} - 8i}{4} = \sqrt{3} - 2i$

次に、簡略化された分数を足し合わせます。

$(\sqrt{3} + 2i) + (\sqrt{3} - 2i) = 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{3}$