与えられた4つの式を因数分解する問題です。 (1) $x^2 + 3xy + 2y^2 + 2x + 3y + 1$ (2) $2x^2 + 5xy + 2y^2 - 3y - 2$ (3) $2x^2 - 3xy + y^2 + 7x - 5y + 6$ (4) $2x^2 - 3xy - 2y^2 - 5x + 5y + 3$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を因数分解する問題です。

(1) $x^2 + 3xy + 2y^2 + 2x + 3y + 1$

(2) $2x^2 + 5xy + 2y^2 - 3y - 2$

(3) $2x^2 - 3xy + y^2 + 7x - 5y + 6$

(4) $2x^2 - 3xy - 2y^2 - 5x + 5y + 3$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + 3xy + 2y^2 + 2x + 3y + 1$

まず、$x$ について整理します。

$x^2 + (3y+2)x + (2y^2+3y+1)$

次に、$2y^2+3y+1$を因数分解します。

$2y^2+3y+1 = (2y+1)(y+1)$

したがって、

$x^2 + (3y+2)x + (2y+1)(y+1) = (x + (2y+1))(x + (y+1)) = (x+2y+1)(x+y+1)$

(2) $2x^2 + 5xy + 2y^2 - 3y - 2$

まず、$x$ について整理します。

$2x^2 + 5xy + (2y^2 - 3y - 2)$

次に、$2y^2 - 3y - 2$を因数分解します。

$2y^2 - 3y - 2 = (2y+1)(y-2)$

したがって、

$2x^2 + 5xy + (2y+1)(y-2) = (2x+y)(x+2y)$

$2x^2 + 5xy + 2y^2 = (2x+y)(x+2y)$より、

$2x^2 + 5xy + 2y^2 - 3y - 2 = (2x+y+a)(x+2y+b)$の形になると予想できます。

$(2x+y+a)(x+2y+b) = 2x^2 + 4xy + 2bx + xy + 2y^2 + by + ax + 2ay + ab = 2x^2 + 5xy + 2y^2 + (2b+a)x + (b+2a)y + ab$

係数を比較すると、$2b+a = 0, b+2a = -3, ab = -2$。

$a = -2b$を$b+2a = -3$に代入すると、$b - 4b = -3$より、$b = 1$。

$a = -2$となる。

したがって、$(2x+y-2)(x+2y+1)$

(3) $2x^2 - 3xy + y^2 + 7x - 5y + 6$

まず、$x$ について整理します。

$2x^2 + (-3y+7)x + (y^2-5y+6)$

次に、$y^2-5y+6$を因数分解します。

$y^2 - 5y + 6 = (y-2)(y-3)$

したがって、

$2x^2 + (-3y+7)x + (y-2)(y-3) = (2x - (y-2))(x - (y-3)) = (2x-y+2)(x-y+3)$

(4) $2x^2 - 3xy - 2y^2 - 5x + 5y + 3$

まず、$x$ について整理します。

$2x^2 + (-3y-5)x + (-2y^2+5y+3)$

次に、$-2y^2+5y+3$を因数分解します。

$-2y^2+5y+3 = -(2y+1)(y-3)$

したがって、

$2x^2 + (-3y-5)x + (-2y-1)(y-3) = (2x + (y-3))(x - (2y+1)) = (2x+y-3)(x-2y-1)$

3. 最終的な答え

(1) $(x+2y+1)(x+y+1)$

(2) $(2x+y-2)(x+2y+1)$

(3) $(2x-y+2)(x-y+3)$

(4) $(2x+y-3)(x-2y-1)$