原点をOとし、$a$を定数とする。放物線$C: y=ax^2$と直線$l: y=2x+12$が2点A, Bで交わり、Aの$x$座標は3である。 (1) $a$の値を求めよ。 (2) Bの座標を求め、さらに三角形OABの面積を求めよ。 (3) 放物線C上の、直線ABに関してOの反対側に2点P, Qを、$\triangle OAP = \triangle OAB$, $\triangle OBQ = \triangle OAB$となるようにとる。 (i) P, Qの座標をそれぞれ求めよ。 (ii) 四角形APQBの面積を求めよ。

1. 問題の内容

原点をOとし、$a$を定数とする。放物線$C: y=ax^2$と直線$l: y=2x+12$が2点A, Bで交わり、Aの$x$座標は3である。

(1) $a$の値を求めよ。

(2) Bの座標を求め、さらに三角形OABの面積を求めよ。

(3) 放物線C上の、直線ABに関してOの反対側に2点P, Qを、$\triangle OAP = \triangle OAB$, $\triangle OBQ = \triangle OAB$となるようにとる。

(i) P, Qの座標をそれぞれ求めよ。

(ii) 四角形APQBの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Aの$x$座標が3であるから、$y=2x+12$に$x=3$を代入して、$y = 2(3) + 12 = 6 + 12 = 18$。

よって、Aの座標は$(3, 18)$。

点Aは放物線$y = ax^2$上にあるので、$18 = a(3^2)$より、$18 = 9a$。

したがって、$a = 2$。

(2) 放物線$y = 2x^2$と直線$y = 2x + 12$の交点の$x$座標を求める。

$2x^2 = 2x + 12$

$2x^2 - 2x - 12 = 0$

$x^2 - x - 6 = 0$

$(x - 3)(x + 2) = 0$

$x = 3, -2$

点Aの$x$座標は3なので、点Bの$x$座標は$-2$。

$y = 2(-2) + 12 = -4 + 12 = 8$

よって、Bの座標は$(-2, 8)$。

三角形OABの面積を求める。

A(3, 18), B(-2, 8)より、直線ABの方程式は$y = 2x + 12$。

点O(0, 0)と直線$2x - y + 12 = 0$の距離dは、

$d = \frac{|2(0) - (0) + 12|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{12}{\sqrt{5}}$

ABの長さは、$\sqrt{(3-(-2))^2 + (18-8)^2} = \sqrt{5^2 + 10^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$

三角形OABの面積は、$\frac{1}{2} \times 5\sqrt{5} \times \frac{12}{\sqrt{5}} = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30$

(3)

(i) $\triangle OAP = \triangle OAB$より、Pは線分ABに平行な直線上で、原点から最も遠い点である。

$\triangle OBQ = \triangle OAB$より、Qも線分ABに平行な直線上で、原点から最も遠い点である。

直線ABの傾きは2なので、P, Qにおける放物線の接線の傾きは2である。

$y = 2x^2$より、$y' = 4x$。

$4x = 2$より、$x = \frac{1}{2}$。

$y = 2(\frac{1}{2})^2 = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

よって、Pの座標は$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$。

点Qも同様に考える。

$\triangle OAP = \triangle OAB$, $\triangle OBQ = \triangle OAB$だから、P, QはABに関してOの反対側にある。

直線ABは、$y = 2x + 12$。

点P, Qは放物線C上の点である。

$\triangle OAP = \triangle OAB$なので、線分OPと線分ABは平行である。よって、P(x, y)とすると、$2 = \frac{y}{x}$より、$y = 2x$。

Pは放物線C上にあるので、$2x = 2x^2$より、$x = 1$なので、$y = 2$。よって、P(1, 2)は不適。

OとABに関して対称な点$O'$を求める。

AB: $2x-y+12=0$

Oから直線ABへ下ろした垂線の足Hを求める。

OH: $x+2y=0$

連立して解くと、$2x-y+12=0$と$x+2y=0$から、

$4x-2y+24=0$と$x+2y=0$を足して、$5x+24=0$、$x=-24/5$

$y=-x/2=12/5$

H(-24/5, 12/5)

O'の座標を(x', y')とすると、HはOO'の中点なので、

$(-24/5, 12/5) = ((0+x')/2, (0+y')/2)$

$x' = -48/5$, $y' = 24/5$

線分OPはOO'に関して対称なので傾きが等しくなる。

よってP(x,2x^2)とする。直線OPの傾きは24/5 / 48/5 = 1/2

直線O'Pの傾きは $\frac{2x^2 - 24/5}{x + 48/5} = - \frac{1}{2}$

$4x^2 - 48/5 = -x - 48/5$

$4x^2 + x = 0$

$x(4x + 1) = 0$

$x = 0, -1/4$

$x = -1/4$ のとき $y = 2(-1/4)^2 = 2(1/16) = 1/8$

Pの座標は$(-1/4, 1/8)$

$\triangle OBQ = \triangle OAB$なので、

Qは線分ABに平行な直線上にある。

線分OQと線分ABは平行である。

OQの傾きをmとすると、ABの傾きは2なので、$Q = (x, 2x^2)$として、$2x^2 / x = 2$より、$x = 1$

Q(1, 2)

(ii) 四角形APQBの面積を求める。

平行四辺形なので、ABを底辺とすると、$5\sqrt{5}$

高さはPとQを通る直線とABの距離なので、Pを通るABに平行な直線は$y = 2x + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}$

$2x-y+\frac{3}{8} = 0$

O(0, 0)との距離は $\frac{|\frac{3}{8}|}{\sqrt{5}} = \frac{3}{8\sqrt{5}}$

最終的な答え

(1) $a = 2$

(2) Bの座標は$(-2, 8)$。三角形OABの面積は$30$。

(3) (i) Pの座標は$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$、Qの座標は$(1, 2)$。

(ii) 四角形APQBの面積は$60$。