関数 $y = \frac{2x+3}{x+1}$ のグラフは、関数 $y = \frac{-2x+5}{x-2}$ のグラフをどのように平行移動したものか。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{2x+3}{x+1}$ のグラフは、関数 $y = \frac{-2x+5}{x-2}$ のグラフをどのように平行移動したものか。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの関数を $y = \frac{a}{x-p}+q$ の形に変形します。

$y = \frac{2x+3}{x+1}$ について:

$2x+3 = 2(x+1)+1$ より、

$y = \frac{2(x+1)+1}{x+1} = 2+\frac{1}{x+1} = \frac{1}{x+1}+2$

$y = \frac{-2x+5}{x-2}$ について:

$-2x+5 = -2(x-2)+1$ より、

$y = \frac{-2(x-2)+1}{x-2} = -2+\frac{1}{x-2} = \frac{1}{x-2}-2$

よって、

$y = \frac{2x+3}{x+1} = \frac{1}{x+1}+2$

$y = \frac{-2x+5}{x-2} = \frac{1}{x-2}-2$

$y = \frac{-2x+5}{x-2}$ のグラフを $x$ 軸方向に $p$ 、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動すると $y = \frac{2x+3}{x+1}$ のグラフになるとすると、

$\frac{1}{x-2-p}-2+q = \frac{1}{x+1}+2$

この式がすべての $x$ で成り立つためには、

$x-2-p = x+1$ より、 $p = -3$

$-2+q = 2$ より、 $q = 4$

したがって、 $y = \frac{-2x+5}{x-2}$ のグラフを $x$ 軸方向に $-3$ 、$y$ 軸方向に $4$ だけ平行移動すると、$y = \frac{2x+3}{x+1}$ のグラフになります。

3. 最終的な答え

$x$ 軸方向に $-3$, $y$ 軸方向に $4$ 平行移動。