不等式 $2 - \log_{\frac{1}{3}} x > (\log_3 x)^2$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $2 - \log_{\frac{1}{3}} x > (\log_3 x)^2$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、対数の底を3に統一します。

$\log_{\frac{1}{3}} x = \frac{\log_3 x}{\log_3 \frac{1}{3}} = \frac{\log_3 x}{\log_3 3^{-1}} = \frac{\log_3 x}{-1} = - \log_3 x$

したがって、与えられた不等式は次のようになります。

$2 - (-\log_3 x) > (\log_3 x)^2$

$2 + \log_3 x > (\log_3 x)^2$

$(\log_3 x)^2 - \log_3 x - 2 < 0$

ここで、$t = \log_3 x$ とおくと、不等式は

$t^2 - t - 2 < 0$

$(t - 2)(t + 1) < 0$

したがって、$-1 < t < 2$ となります。

$t = \log_3 x$ を代入すると、

$-1 < \log_3 x < 2$

それぞれの不等式を解きます。

$\log_3 x > -1$ より、$x > 3^{-1} = \frac{1}{3}$

$\log_3 x < 2$ より、$x < 3^2 = 9$

よって、$\frac{1}{3} < x < 9$

また、真数条件より、$x>0$ が必要ですが、$\frac{1}{3} < x < 9$ はこれを満たします。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3} < x < 9$