与えられた線形方程式系の解を求める問題です。行列とベクトルの積の形で表された同次連立一次方程式 $ \begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 & 4 & -3 \\ 1 & -2 & 0 & 1 & -2 \\ -1 & 2 & 2 & 1 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた線形方程式系の解を求める問題です。行列とベクトルの積の形で表された同次連立一次方程式

$$

\begin{bmatrix}

1 & -4 & 3 & 4 & -3 \\

1 & -2 & 0 & 1 & -2 \\

-1 & 2 & 2 & 1 & 4

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

0 \\ 0 \\ 0

\end{bmatrix}

$$

を解きます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列を簡約化します。

行列を書き出します。

$$

\begin{bmatrix}

1 & -4 & 3 & 4 & -3 \\

1 & -2 & 0 & 1 & -2 \\

-1 & 2 & 2 & 1 & 4

\end{bmatrix}

$$

2行目から1行目を引きます (R2 -> R2 - R1)。

$$

\begin{bmatrix}

1 & -4 & 3 & 4 & -3 \\

0 & 2 & -3 & -3 & 1 \\

-1 & 2 & 2 & 1 & 4

\end{bmatrix}

$$

3行目に1行目を加えます (R3 -> R3 + R1)。

$$

\begin{bmatrix}

1 & -4 & 3 & 4 & -3 \\

0 & 2 & -3 & -3 & 1 \\

0 & -2 & 5 & 5 & 1

\end{bmatrix}

$$

3行目に2行目を加えます (R3 -> R3 + R2)。

$$

\begin{bmatrix}

1 & -4 & 3 & 4 & -3 \\

0 & 2 & -3 & -3 & 1 \\

0 & 0 & 2 & 2 & 2

\end{bmatrix}

$$

3行目を2で割ります (R3 -> R3 / 2)。

$$

\begin{bmatrix}

1 & -4 & 3 & 4 & -3 \\

0 & 2 & -3 & -3 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 1 & 1

\end{bmatrix}

$$

2行目に3行目の3倍を加えます (R2 -> R2 + 3*R3)。

$$

\begin{bmatrix}

1 & -4 & 3 & 4 & -3 \\

0 & 2 & 0 & 0 & 4 \\

0 & 0 & 1 & 1 & 1

\end{bmatrix}

$$

2行目を2で割ります (R2 -> R2 / 2)。

$$

\begin{bmatrix}

1 & -4 & 3 & 4 & -3 \\

0 & 1 & 0 & 0 & 2 \\

0 & 0 & 1 & 1 & 1

\end{bmatrix}

$$

1行目に2行目の4倍を加えます (R1 -> R1 + 4*R2)。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & 3 & 4 & 5 \\

0 & 1 & 0 & 0 & 2 \\

0 & 0 & 1 & 1 & 1

\end{bmatrix}

$$

1行目から3行目の3倍を引きます (R1 -> R1 - 3*R3)。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\

0 & 1 & 0 & 0 & 2 \\

0 & 0 & 1 & 1 & 1

\end{bmatrix}

$$

したがって、方程式は次のようになります。

$x_1 + x_4 + 2x_5 = 0$

$x_2 + 2x_5 = 0$

$x_3 + x_4 + x_5 = 0$

解は次のようになります。

$x_1 = -x_4 - 2x_5$

$x_2 = -2x_5$

$x_3 = -x_4 - x_5$

$x_4 = x_4$

$x_5 = x_5$

3. 最終的な答え

解は

$$

\begin{bmatrix}

x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5

\end{bmatrix}

=

x_4

\begin{bmatrix}

-1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0

\end{bmatrix}

+

x_5

\begin{bmatrix}

-2 \\ -2 \\ -1 \\ 0 \\ 1

\end{bmatrix}

$$

となります。