問題224: 数列 $x, 12, y$ が等比数列であり、数列 $68, y, x$ が等差数列であるとき、$x$ と $y$ の値を求めよ。ただし、$0 < x < y$ とする。

1. 問題の内容

問題224: 数列 $x, 12, y$ が等比数列であり、数列 $68, y, x$ が等差数列であるとき、$x$ と $y$ の値を求めよ。ただし、$0 < x < y$ とする。

2. 解き方の手順

等比数列 $x, 12, y$ より、

$12^2 = xy$

$xy = 144$ --- (1)

等差数列 $68, y, x$ より、

$2y = 68 + x$

$y = \frac{68+x}{2}$ --- (2)

(2)を(1)に代入して、

$x (\frac{68+x}{2}) = 144$

$x(68+x) = 288$

$x^2 + 68x - 288 = 0$

$(x+72)(x-4) = 0$

$x = -72$ または $x=4$

$0 < x < y$ より、$x=4$

$x=4$を(2)に代入して、

$y = \frac{68+4}{2} = \frac{72}{2} = 36$

$x = 4, y = 36$

$0 < x < y$ を満たすので、これは解である。

3. 最終的な答え

$x = 4, y = 36$