与えられた分数の分母を有理化し、式を簡単にします。問題の式は $\frac{1-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化し、式を簡単にします。問題の式は $\frac{1-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$ です。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役である $2-\sqrt{3}$ を分子と分母の両方に掛けます。

$\frac{1-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{(1-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$

次に、分子を展開します。

$(1-\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 1(2) + 1(-\sqrt{3}) - \sqrt{3}(2) - \sqrt{3}(-\sqrt{3}) = 2 - \sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 3 = 5 - 3\sqrt{3}$

次に、分母を展開します。

$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 2(2) + 2(-\sqrt{3}) + \sqrt{3}(2) + \sqrt{3}(-\sqrt{3}) = 4 - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 3 = 1$

したがって、

$\frac{(1-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{5 - 3\sqrt{3}}{1} = 5 - 3\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$5 - 3\sqrt{3}$