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与えられた行列とベクトルを使って、連立一次方程式の解を求めます。具体的には、以下の連立一次方程式の一般解を求める問題です。 $ \begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 & 4 & -3 \\ 1 & -2 & 0 & 1 & -2 \\ -1 & 2 & 2 & 1 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $

代数学線形代数連立一次方程式行列行簡約化一般解
2025/5/14

1. 問題の内容

与えられた行列とベクトルを使って、連立一次方程式の解を求めます。具体的には、以下の連立一次方程式の一般解を求める問題です。
\begin{bmatrix}
1 & -4 & 3 & 4 & -3 \\
1 & -2 & 0 & 1 & -2 \\
-1 & 2 & 2 & 1 & 4
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\ 0 \\ 0
\end{bmatrix}

2. 解き方の手順

ステップ1: 拡大係数行列を作成し、行簡約階段形に変形します。
与えられた行列にゼロベクトルを付加した拡大係数行列は次の通りです。
\begin{bmatrix}
1 & -4 & 3 & 4 & -3 & 0 \\
1 & -2 & 0 & 1 & -2 & 0 \\
-1 & 2 & 2 & 1 & 4 & 0
\end{bmatrix}
行基本変形を行います。
2行目から1行目を引きます（R2 -> R2 - R1）。
3行目に1行目を足します（R3 -> R3 + R1）。
\begin{bmatrix}
1 & -4 & 3 & 4 & -3 & 0 \\
0 & 2 & -3 & -3 & 1 & 0 \\
0 & -2 & 5 & 5 & 1 & 0
\end{bmatrix}
3行目に2行目を足します(R3 -> R3 + R2)。
\begin{bmatrix}
1 & -4 & 3 & 4 & -3 & 0 \\
0 & 2 & -3 & -3 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 2 & 2 & 0
\end{bmatrix}
3行目を2で割ります (R3 -> R3 / 2)。
\begin{bmatrix}
1 & -4 & 3 & 4 & -3 & 0 \\
0 & 2 & -3 & -3 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0
\end{bmatrix}
2行目に3行目の3倍を足します (R2 -> R2 + 3*R3)。
\begin{bmatrix}
1 & -4 & 3 & 4 & -3 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0
\end{bmatrix}
2行目を2で割ります (R2 -> R2 / 2)。
\begin{bmatrix}
1 & -4 & 3 & 4 & -3 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0
\end{bmatrix}
1行目に2行目の4倍を足します (R1 -> R1 + 4*R2)。
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 3 & 4 & 5 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0
\end{bmatrix}
1行目から3行目の3倍を引きます (R1 -> R1 - 3*R3)。
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0
\end{bmatrix}
ステップ2: 変数の関係を求めます。
上記の行簡約階段形から、以下の関係が得られます。
x1+x4+2x5=0x_1 + x_4 + 2x_5 = 0
x2+2x5=0x_2 + 2x_5 = 0
x3+x4+x5=0x_3 + x_4 + x_5 = 0
したがって、
x1=−x4−2x5x_1 = -x_4 - 2x_5
x2=−2x5x_2 = -2x_5
x3=−x4−x5x_3 = -x_4 - x_5
ステップ3: 一般解を表現します。
x4x_4とx5x_5を自由変数として、x4=sx_4 = s, x5=tx_5 = tとすると、一般解は以下のようになります。
\begin{bmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-s - 2t \\ -2t \\ -s - t \\ s \\ t
\end{bmatrix}
=
s \begin{bmatrix}
-1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0
\end{bmatrix}
+
t \begin{bmatrix}
-2 \\ -2 \\ -1 \\ 0 \\ 1
\end{bmatrix}

3. 最終的な答え

一般解は、
\begin{bmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5
\end{bmatrix}
=
s \begin{bmatrix}
-1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0
\end{bmatrix}
+
t \begin{bmatrix}
-2 \\ -2 \\ -1 \\ 0 \\ 1
\end{bmatrix}
ここで、ssとttは任意の実数です。

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