与えられた連立一次方程式の解を求める問題です。 行列とベクトルの積の形で、$Ax=0$ と表されています。ここで、$A$ は3x5の行列、$x$ は5x1のベクトルです。 $A = \begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 & 4 & -3 \\ 1 & -2 & 0 & 1 & -2 \\ -1 & 2 & 2 & 1 & 4 \end{bmatrix}$, $x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix}$, $0 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式の解を求める問題です。

行列とベクトルの積の形で、$Ax=0$ と表されています。ここで、$A$ は3x5の行列、$x$ は5x1のベクトルです。

$A = \begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 & 4 & -3 \\ 1 & -2 & 0 & 1 & -2 \\ -1 & 2 & 2 & 1 & 4 \end{bmatrix}$, $x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix}$, $0 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

与えられた行列 $A$ を簡約化し、連立一次方程式の解を求めます。

(1) 行列 $A$ を拡大行列 $[A | 0]$ の形で書き下します。

$\begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 & 4 & -3 | 0 \\ 1 & -2 & 0 & 1 & -2 | 0 \\ -1 & 2 & 2 & 1 & 4 | 0 \end{bmatrix}$

(2) 簡約化を行います。

2行目から1行目を引きます ($R_2 \leftarrow R_2 - R_1$)。

$\begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 & 4 & -3 | 0 \\ 0 & 2 & -3 & -3 & 1 | 0 \\ -1 & 2 & 2 & 1 & 4 | 0 \end{bmatrix}$

3行目に1行目を加えます ($R_3 \leftarrow R_3 + R_1$)。

$\begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 & 4 & -3 | 0 \\ 0 & 2 & -3 & -3 & 1 | 0 \\ 0 & -2 & 5 & 5 & 1 | 0 \end{bmatrix}$

3行目に2行目を加えます ($R_3 \leftarrow R_3 + R_2$)。

$\begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 & 4 & -3 | 0 \\ 0 & 2 & -3 & -3 & 1 | 0 \\ 0 & 0 & 2 & 2 & 2 | 0 \end{bmatrix}$

3行目を2で割ります ($R_3 \leftarrow \frac{1}{2} R_3$)。

$\begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 & 4 & -3 | 0 \\ 0 & 2 & -3 & -3 & 1 | 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 | 0 \end{bmatrix}$

2行目に3行目の3倍を加えます ($R_2 \leftarrow R_2 + 3 R_3$)。

$\begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 & 4 & -3 | 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 4 | 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 | 0 \end{bmatrix}$

2行目を2で割ります ($R_2 \leftarrow \frac{1}{2} R_2$)。

$\begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 & 4 & -3 | 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 | 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 | 0 \end{bmatrix}$

1行目に2行目の4倍を足します ($R_1 \leftarrow R_1 + 4 R_2$)。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 4 & 5 | 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 | 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 | 0 \end{bmatrix}$

1行目から3行目の3倍を引きます ($R_1 \leftarrow R_1 - 3 R_3$)。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 2 | 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 | 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 | 0 \end{bmatrix}$

(3) 解を求めます。

$x_1 + x_4 + 2x_5 = 0$

$x_2 + 2x_5 = 0$

$x_3 + x_4 + x_5 = 0$

$x_4 = s$, $x_5 = t$ とすると、

$x_1 = -s - 2t$

$x_2 = -2t$

$x_3 = -s - t$

解は

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = s \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} -2 \\ -2 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = s \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} -2 \\ -2 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ （$s, t$ は任意の実数）