次の式を因数分解します。 (1) $x^6 - 64$ (2) $x^6 - y^6$

1. 問題の内容

次の式を因数分解します。

(1) $x^6 - 64$

(2) $x^6 - y^6$

2. 解き方の手順

(1) $x^6 - 64$ を因数分解します。

$x^6 - 64 = (x^3)^2 - 8^2$ と見ることができます。

これは、$A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ の公式を利用できます。

よって、

$x^6 - 64 = (x^3 - 8)(x^3 + 8)$

さらに、$x^3 - 8 = x^3 - 2^3$ と $x^3 + 8 = x^3 + 2^3$ はそれぞれ $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ と $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ の公式で因数分解できます。

$x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$

$x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$

したがって、

$x^6 - 64 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)(x + 2)(x^2 - 2x + 4) = (x-2)(x+2)(x^2+2x+4)(x^2-2x+4)$

(2) $x^6 - y^6$ を因数分解します。

$x^6 - y^6 = (x^3)^2 - (y^3)^2$ と見ることができます。

これは、$A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ の公式を利用できます。

$x^6 - y^6 = (x^3 - y^3)(x^3 + y^3)$

$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$

$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$

したがって、

$x^6 - y^6 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)(x + y)(x^2 - xy + y^2) = (x-y)(x+y)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$

3. 最終的な答え

(1) $(x-2)(x+2)(x^2+2x+4)(x^2-2x+4)$

(2) $(x-y)(x+y)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$