与えられた問題は、分母に平方根を含む分数の有理化です。具体的には、$\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$ を有理化する必要があります。

1. 問題の内容

与えられた問題は、分母に平方根を含む分数の有理化です。具体的には、$\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$ を有理化する必要があります。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役な複素数（この場合は $\sqrt{5} - \sqrt{2}$）を分母と分子の両方に掛けます。

ステップ1: 分母と分子に $\sqrt{5} - \sqrt{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$

ステップ2: 分子を計算します。

分子は $1 \times (\sqrt{5} - \sqrt{2}) = \sqrt{5} - \sqrt{2}$ となります。

ステップ3: 分母を計算します。分母は $(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})$ であり、これは $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ の形をしています。したがって、

$(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$

ステップ4: 分数全体を簡約化します。

$\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{3}$