長さ40cmの針金を2つに切り、それぞれの針金で正方形を2つ作る。2つの正方形の面積の和を最小にするには、針金をどのように切れば良いか。また、その面積の和の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

長さ40cmの針金を2つに切り、それぞれの針金で正方形を2つ作る。2つの正方形の面積の和を最小にするには、針金をどのように切れば良いか。また、その面積の和の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

針金を切る長さをそれぞれ$x$ cmと$40-x$ cmとする。

それぞれの正方形の一辺の長さは、$\frac{x}{4}$と$\frac{40-x}{4}$となる。

それぞれの正方形の面積は、$(\frac{x}{4})^2$と$(\frac{40-x}{4})^2$となる。

面積の和$S$は、

$$S = (\frac{x}{4})^2 + (\frac{40-x}{4})^2$$

$$S = \frac{x^2}{16} + \frac{(40-x)^2}{16}$$

$$S = \frac{x^2 + 1600 - 80x + x^2}{16}$$

$$S = \frac{2x^2 - 80x + 1600}{16}$$

$$S = \frac{1}{8}x^2 - 5x + 100$$

$S$を最小にする$x$を求めるために、$S$を平方完成する。

$$S = \frac{1}{8}(x^2 - 40x) + 100$$

$$S = \frac{1}{8}(x^2 - 40x + 400 - 400) + 100$$

$$S = \frac{1}{8}(x - 20)^2 - \frac{400}{8} + 100$$

$$S = \frac{1}{8}(x - 20)^2 - 50 + 100$$

$$S = \frac{1}{8}(x - 20)^2 + 50$$

$S$を最小にするのは、$x = 20$のときである。

このとき、$S = 50$となる。

したがって、針金を20cmと20cmに切れば、面積の和は最小となる。

3. 最終的な答え

針金を20cmと20cmに切る。

面積の和の最小値は50 cm$^2$。