$\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a^2 + ab$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a^2 + ab$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} = \frac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \sqrt{5}+2$

$\sqrt{5}$ は $2 < \sqrt{5} < 3$ なので、

$2+2 < \sqrt{5}+2 < 3+2$

$4 < \sqrt{5}+2 < 5$

したがって、$\sqrt{5}+2$ の整数部分は $a=4$ です。

小数部分は $b = (\sqrt{5}+2) - 4 = \sqrt{5}-2$ です。

$a^2 + ab = a(a+b)$ に $a=4$ と $b=\sqrt{5}-2$ を代入します。

$a(a+b) = 4(4 + (\sqrt{5}-2)) = 4(2+\sqrt{5}) = 8 + 4\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$8 + 4\sqrt{5}$