$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、$a + b^2$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、$a + b^2$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$ を有理化する。

$\frac{2}{\sqrt{3}-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{2} = \sqrt{3}+1$

$\sqrt{3}$ は $1$ と $2$ の間の数である ($1<\sqrt{3}<2$)。具体的には、$\sqrt{3} \approx 1.732$。

したがって、$\sqrt{3}+1 \approx 2.732$ となる。

整数部分 $a = 2$ である。

小数部分 $b = (\sqrt{3}+1) - 2 = \sqrt{3} - 1$ である。

$a + b^2 = 2 + (\sqrt{3}-1)^2 = 2 + (3 - 2\sqrt{3} + 1) = 2 + 4 - 2\sqrt{3} = 6 - 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$6 - 2\sqrt{3}$