$\frac{4}{3-\sqrt{5}}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a^2 + b^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{4}{3-\sqrt{5}}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a^2 + b^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{4}{3-\sqrt{5}}$ を有理化します。

$$\frac{4}{3-\sqrt{5}} = \frac{4(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})} = \frac{4(3+\sqrt{5})}{9-5} = \frac{4(3+\sqrt{5})}{4} = 3+\sqrt{5}$$

$\sqrt{5}$ の近似値を考えます。

$2 < \sqrt{5} < 3$ であることは、$2^2 = 4 < 5 < 9 = 3^2$ からわかります。

さらに、$2.2^2 = 4.84 < 5$ であり、$2.3^2 = 5.29 > 5$ なので、$2.2 < \sqrt{5} < 2.3$ となります。

よって、$3 + 2.2 < 3 + \sqrt{5} < 3 + 2.3$ より、$5.2 < 3+\sqrt{5} < 5.3$ となります。

したがって、整数部分 $a = 5$ となります。

小数部分 $b$ は、もとの数から整数部分を引いたものなので、

$b = (3+\sqrt{5}) - 5 = \sqrt{5} - 2$

$a^2 + b^2$ を計算します。

$a^2 + b^2 = 5^2 + (\sqrt{5} - 2)^2 = 25 + (5 - 4\sqrt{5} + 4) = 25 + 9 - 4\sqrt{5} = 34 - 4\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$34 - 4\sqrt{5}$

選択肢のエが正解です。