$f(x) = x^2 - 2ax + 1$ と $g(x) = x^2 - (2a - 1)x + a^2 - a$ という二つの関数が与えられています。 (1) 全ての実数 $x$ に対して $f(x) \geq 0$ が成立するような $a$ の範囲を求めます。 (2) $0 \leq x \leq 2$ を満たすすべての実数 $x$ に対して $f(x) > 0$ が成立するような $a$ の範囲を求めます。 (3) $g(x) \leq 0$ を満たすすべての実数 $x$ について、$f(x) > 0$ が成立するような $a$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

$f(x) = x^2 - 2ax + 1$ と $g(x) = x^2 - (2a - 1)x + a^2 - a$ という二つの関数が与えられています。

(1) 全ての実数 $x$ に対して $f(x) \geq 0$ が成立するような $a$ の範囲を求めます。

(2) $0 \leq x \leq 2$ を満たすすべての実数 $x$ に対して $f(x) > 0$ が成立するような $a$ の範囲を求めます。

(3) $g(x) \leq 0$ を満たすすべての実数 $x$ について、$f(x) > 0$ が成立するような $a$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$f(x) = x^2 - 2ax + 1$ が全ての実数 $x$ に対して $f(x) \geq 0$ を満たすためには、判別式 $D$ が $D \leq 0$ となる必要があります。

$D = (-2a)^2 - 4(1)(1) = 4a^2 - 4 \leq 0$

$a^2 - 1 \leq 0$

$(a - 1)(a + 1) \leq 0$

$-1 \leq a \leq 1$

(2)

$f(x) = x^2 - 2ax + 1$ が $0 \leq x \leq 2$ を満たす全ての実数 $x$ について $f(x) > 0$ を満たすための条件を考えます。

$f(x)$ は下に凸な放物線なので、軸の位置で場合分けをして考えます。

軸は $x = a$ です。

i) $a < 0$ のとき、$0 \leq x \leq 2$ で $f(x)$ は減少関数なので、$f(0) > 0$ ならば良いです。

$f(0) = 1 > 0$ なので、$a < 0$ です。

ii) $0 \leq a \leq 2$ のとき、$f(x)$ の最小値は $f(a) = a^2 - 2a^2 + 1 = 1 - a^2 > 0$

$a^2 < 1$

$-1 < a < 1$

よって $0 \leq a < 1$

iii) $a > 2$ のとき、$0 \leq x \leq 2$ で $f(x)$ は増加関数なので、$f(2) > 0$ ならば良いです。

$f(2) = 2^2 - 2a(2) + 1 = 5 - 4a > 0$

$4a < 5$

$a < \frac{5}{4}$

これは $a > 2$ に矛盾するので、不適です。

i), ii) より、$a < 1$

(3)

$g(x) = x^2 - (2a - 1)x + a^2 - a \leq 0$ を満たすすべての実数 $x$ について、$f(x) = x^2 - 2ax + 1 > 0$ が成立するような $a$ の範囲を求めます。

まず、$g(x) \leq 0$ となる $x$ が存在するためには、$g(x) = 0$ が実数解を持つ必要があります。したがって、$g(x)$ の判別式を $D_g$ とすると、$D_g \geq 0$ である必要があります。

$D_g = (2a - 1)^2 - 4(a^2 - a) = 4a^2 - 4a + 1 - 4a^2 + 4a = 1 > 0$

よって、$g(x) = 0$ は常に実数解を持ちます。

$g(x) = 0$ の解を $\alpha, \beta$ とすると、$\alpha \leq x \leq \beta$ で $g(x) \leq 0$ が成り立ちます。

$\alpha, \beta = \frac{2a - 1 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{2a - 1 \pm 1}{2} = a - 1, a$

よって、$a - 1 \leq x \leq a$ で $g(x) \leq 0$ となります。

この範囲で $f(x) > 0$ が成立するためには、

$f(a - 1) > 0$ かつ $f(a) > 0$ である必要があります。

$f(a - 1) = (a - 1)^2 - 2a(a - 1) + 1 = a^2 - 2a + 1 - 2a^2 + 2a + 1 = -a^2 + 2 > 0$

$a^2 < 2$

$-\sqrt{2} < a < \sqrt{2}$

$f(a) = a^2 - 2a^2 + 1 = -a^2 + 1 > 0$

$a^2 < 1$

$-1 < a < 1$

したがって、$-1 < a < 1$ が必要となります。

以上より、$-1 < a < 1$

3. 最終的な答え

(1) $-1 \leq a \leq 1$

(2) $a < 1$

(3) $-1 < a < 1$